Structures de bifurcation dans des systèmes non linéaires à temps discret

Les systèmes utilisés ou conçus dans les domaines de l’ingénierie sont pour la plupart intrinsèquement non linéaires. Certains modèles peuvent être approximés et simplifiés, ce qui conduit à une modélisation linéaire. Néanmoins, dans de nombreux cas, les approximations qui conduisent à un système linéaire entrainent une perte d’information par rapport au système de départ. Il est donc important de conserver autant que possible les non-linéarités d’un système. Les systèmes linéaires peuvent être étudiés en utilisant les outils de l’algèbre linéaire, mais il n’existe pas d’outils génériques aussi puissants permettant d’analyser l’ensemble des systèmes non linéaires, tout au plus peut-on classifier ces systèmes, par exemple à partir du type de non-linéarité dominante, et proposer une analyse du comportement du système. L’introduction des outils numériques au milieu du XX^e siècle a permis une avancée significative dans ce type d’analyse. En général, une combinaison entre des études théoriques et l’utilisation des outils numériques va permettre de mieux appréhender l’impact des non-linéarités dans un système. Les études numériques ont permis de mettre en évidence des comportements complexes qu’il est impossible d’observer dans un système linéaire à variables réelles, comme les comportements qualifiés de chaotiques.

Les modèles de systèmes électroniques, mécaniques, automatiques ou utilisés dans les transmissions en télécommunications font souvent intervenir des paramètres que l’utilisateur peut modifier pour que le système agisse de façon adéquate. Par exemple, il peut être utile qu’un système reste sur un état stationnaire fixe ; dans d’autres cas, il peut suffire que le système reste borné (cas de la stabilité BIBO – Bounded Input Bounded Output, c’est-à-dire entrée bornée, sortie bornée) ; des comportements de type périodique peuvent également présenter un intérêt. Dans certains cas, l’utilisateur peut ne pas avoir la maîtrise complète des paramètres ; ceux-ci peuvent varier dans des plages où les comportements sont drastiquement modifiés. Pour tous les systèmes, la connaissance des comportements possibles lorsque les paramètres évoluent est du plus grand intérêt. Une notion fondamentale est celle de bifurcation qui correspond à une modification qualitative du comportement d’un système lorsqu’un ou plusieurs paramètres sont modifiés. Le système peut passer d’un état stationnaire stable à un comportement périodique, avec une période qui peut changer très rapidement par variation d’un paramètre, voire à une instabilité complète. Des comportements appelés « chaotiques » qui semblent désordonnés peuvent également se produire.

Cet article s’intéresse plus particulièrement aux bifurcations qui interviennent dans des systèmes à temps discret modélisés par une transformation ponctuelle ou récurrence. Il est possible de mettre en évidence, non seulement des bifurcations spécifiques, mais aussi des structures globales de bifurcations qui sont associées à certains types de non-linéarités. Ces structures globales permettent une compréhension d’ensemble d’un système et peuvent tout particulièrement expliquer quels mécanismes conduisent au chaos. On obtient alors ce que l’on appelle une « route vers le chaos ».

Dans la première section, plusieurs types de non-linéarités seront étudiées à partir de modèles génériques : une non-linéarité de type quadratique ou cubique, une non-linéarité de type modulo ou des discontinuités de la fonction (ou de sa dérivée) qui intervient dans la modélisation. Pour chaque non-linéarité, sera mise en évidence une structure de bifurcations spécifique : structure « boîtes emboîtées » pour la première non-linéarité, structure « boîtes en files » type « addition de périodes » ou « incrémentation de périodes » pour la seconde.

La seconde section permettra de présenter des exemples de systèmes simples issus de plusieurs domaines de l’ingénierie qui présentent ces différents types de structures.

Ainsi, seront proposées l’étude d’un modulateur dans un système de transmission, celle d’un oscillateur et celle d’un circuit électrique hybride. Dans chacun de ces exemples, il est intéressant d’analyser les comportements du système afin, soit de choisir les paramètres qui vont correspondre à un comportement stable, ou au contraire ceux qui vont conduire à un comportement chaotique et borné. En effet, le chaos correspond à un comportement qui semble aléatoire, et il est possible d’utiliser des signaux chaotiques pour générer par exemple des nombres pseudo-aléatoires.

La conclusion donnera quelques perspectives pour des études plus complexes.