Bibliographie & annexes
Présentation
INTRODUCTION
L’application de forces extérieures (moment, effort normal et effort tranchant) à un système matériel élastique est prétexte, dans cet article, à explorer les principes de la thermodynamique à travers l’étude concrète de nombreux exemples types.
Les méthodes énergétiques de calculs en mécanique des structures passent par la connaissance de divers théorèmes, successivement abordés dans le cadre de cas pratiques. Par exemple :
-
le théorème de Clapeyron qui permet la compréhension du travail des forces extérieures ;
-
le théorème de réciprocité de (Maxwell) Betty qui facilite les calculs de réactions d’appuis de structures hyperstatiques, ou encore les déplacements de forces appliquées ;
-
le théorème de Castigliano qui exprime le potentiel en fonction de chaque force distincte, notamment dans les réactions de liaisons surabondantes des systèmes hyperstatiques ;
-
le théorème de Ménabréa, conséquence du théorème de Castigliano, qui est particulièrement bien adapté au calcul des réactions de systèmes hyperstatiques.
Une deuxième partie de l’article est consacrée à la méthode des forces dans les calculs des structures faiblement hyperstatiques. On y traite de l’intégrale de Mohr et de quelques exemples toutes méthodes confondues : sur une poutre à 2 appuis, pour la résolution des cadres et portiques (actions d’encastrement, système symétrique et antisymétrique,…), sur une structure en treillis, ou encore un pont à béquille.
Enfin, dans une troisième section, trois études de cas (une partie de bâtiment industriel, la particularité des charges mobiles — comme un convoi routier — et l’arc isostatique) constituent une analyse très pédagogique.
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Présentation
Théorèmes générauxHypothèse
Supposons un système (S) initialement à l’état naturel (pas de contraintes). Appliquons à (S) un système de forces (ou couple) {Fi}, l’équilibre restant assuré.
Soit δi le déplacement du point d’application de la force Fi suivant son support.
Sous l’effet de λ Fi, pour 0 < λ < 1, le déplacement est λ δi, en vertu de l’hypothèse de linéarité (loi de Hooke).
Si λ varie de dλ, (petite variation), le travail de la force de λ Fi correspondant à cette variation a pour valeur :
Lorsque le système passe de l’état initial (λ = 0) à l’état final (λ = 1), le travail de la force s’écrit :
et le travail du système de forces entier s’écrira :
Expression du travail des forces intérieures en fonction des éléments de réduction des forces extérieures (moment, effort normal et effort tranchant)
Considérons un élément de poutres de longueur ds. Soit
et
les éléments de réduction en G des forces à gauche (
cf.
Fig.1
).
Ces éléments valent en G’ :
et
. Sous l’effet de ces efforts, l’élément de poutres s’est déformé :
Avec comme déplacement :
de G’, et comme rotation
de la section droite.
...
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Théorème de Clapeyron : travail des forces extérieures
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