Jacques-Hervé SAÏAC
: Ingénieur de l’École Centrale de Paris - Docteur et titulaire d’une habilitation à diriger des recherches de l’Université Pierre-et-Marie-Curie (Paris VI) - Maître de Conférences au Conservatoire national des arts et métiers (CNAM)
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Les méthodes numériques utiles à l’ingénieur sont nombreuses. Cependant, les algorithmes de base sont déjà exposés dans le traité Sciences fondamentales. Nous avons donc choisi de présenter ici les méthodes de discrétisation des équations de la physique en nous concentrant sur le modèle de la conduction.
Les mathématiques utilisent couramment les notions d’infini et de continu. La solution exacte d’un problème d’équations différentielles ou aux dérivées partielles est une fonction continue. Les ordinateurs ne connaissent que le fini et le discret. Les solutions approchées seront calculées en définitive comme des collections de valeurs discrètes sous la forme de composantes d’un vecteur solution d’un problème matriciel.
En vue du passage d’un problème exact (continu) au problème approché (discret), on dispose de plusieurs techniques concurrentes : les différences finies, les éléments finis et les volumes finis. Chacune de ces trois méthodes correspond à une formulation différente des équations de la physique :
équilibre des forces en chaque point pour les différences finies ;
minimisation de l’énergie ou principe des travaux virtuels pour les éléments finis ;
loi de conservation et calcul des flux pour la méthode des volumes finis.
Nota :
le lecteur pourra se reporter aux articles :
[A 1 220] Méthodes numériques de base.
[A 1 207] Modèles et modélisation en électrotechnique
et également aux articles [A 550] Approximation des équations aux dérivées partielles. Méthodes aux différences finies et [A 656] Méthode des éléments finis.
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Soit u une fonction de 2 variables (x, y) à valeurs réelles définie sur un domaine Ω de
. On appelle gradient (en dimension 2) de u et on note grad(u) ou
, le vecteur :
Soit V une fonction vectorielle de 2 variables (x, y) définie sur un domaine Ω de
et à valeurs V1, V2 dans
. On appelle divergence du vecteur V et on note div(V ) ou
, le scalaire :
Soit u une fonction de 2 variables (x, y) à valeurs réelles définie sur un domaine Ω de
. On appelle laplacien de u et on note Δu ou
, le scalaire :
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Bibliographie & annexes
Méthodes de résolution des systèmes linéaires
. On appelle gradient (en dimension 2) de u et on note grad(u) ou
, le vecteur :
et à valeurs V1, V2 dans
. On appelle divergence du vecteur V et on note div(V ) ou
, le scalaire :
. On appelle laplacien de u et on note Δu ou
, le scalaire :
