Mécanique générale - Dynamique : étude des états

Auteur(s) : Jean-Pierre BROSSARD

Date de publication : 10 avr. 1997 | Read in English

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Sommaire
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Présentation

1 - État d’équilibre statique

1.1 - Définition de l’équilibre
1.2 - Stabilité d’un équilibre

Figure 1 - Stabilité du pendule
1.3 - Statique par les théorèmes généraux

Figure 2 - Torseur nul sans équilibre
1.4 - Statique par les méthodes énergétiques

Figure 3 - Équilibre Figure 5 - Pendule double Figure 8 - Pendule à deux masses Figure 9 - Pendules orthogonaux Figure 10 - Positions d’équilibre Figure 11 - Surface représentative de Tableau 1
1.5 - Mouvement voisin d’une position d’équilibre stable

Figure 13 - Représentation de Figure 14 - Représentation de Figure 15 - Suspension de véhicule

2 - États stationnaires

2.1 - État de mouvement. État stationnaire
2.2 - Stabilité au sens de Liapounov

Figure 16 - Mouvement à force centrale
2.3 - Écriture des équations
2.4 - État stationnaire
2.5 - Linéarisation
2.6 - Stabilité du système linéaire associé

Tableau 2
2.7 - Stabilité du système réel non linéaire. Théorème de Liapounov

Présentation

Auteur(s)

Jean-Pierre BROSSARD : Professeur de mécanique à l’Institut National des Sciences Appliquées (INSA) de Lyon

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INTRODUCTION

Les équations de la dynamique, obtenues par la méthode de Lagrange ou par les théorèmes généraux débarrassés des inconnues dynamiques, constituent un système différentiel du 2^e ordre. Ces équations peuvent être ramenées au premier ordre, résultat que l’on peut obtenir directement par la méthode d’Hamilton.

On appelle état de mouvement une solution connue de ce système différentiel.

La résolution des équations différentielles est un problème difficile. Fort heureusement, il y a deux états de mouvement remarquables très fréquents et relativement faciles à étudier :

l’état d’équilibre ;
l’état stationnaire.

Avec la notion d’état d’équilibre et d’état de mouvement va de paire la notion de stabilité de ces états. C’est aussi un des problèmes fondamentaux de la mécanique.

On trouvera application de ces résultats dans de très nombreux domaines, notamment :

la mécanique céleste ;
la commande des systèmes dynamiques ;
l’aviation ;
l’astronautique ;
l’automobile ;
les véhicules sur rail ;
les ouvrages d’art.

Notons encore que la notion d’équilibre dépasse largement le cadre de la mécanique (biométrie, économétrie).

Nota :

Cet article fait partie d’un ensemble d’articles traitant de la Mécanique générale ; le lecteur devra donc se reporter assez souvent aux développements mathématiques étudiés précédemment dans les articles :