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Article de référence | Réf : AF5070 v1

La théorie des singularités - Un complément aux modèles locaux par éléments finis en physique

Auteur(s) : Yves GOURINAT

Date de publication : 10 janv. 2019

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RÉSUMÉ

Les méthodes employées dans l’industrie pour modéliser un problème physique fonctionnent généralement par assemblage de modèles élémentaires locaux, requérant le maillage de l’ensemble du domaine. Partant des principes de condensation sur les conditions aux limites et appliquant une technique d’ « intégration virtuelle » les méthodes intégrales ne maillent que la frontière. Très performantes et tirant parti de singularités d’intégration, elles sont adaptées aux problèmes contemporains et sont appelées à se développer. Cet article présente les bases de la méthode des singularités sur des exemples de mécanique (solide et fluide) et propose des extensions à d’autres domaines de la physique.

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ABSTRACT

The Theory of Singularities. A Complement to Local Finite Element Models in Physics

The methods performed in industry to model a physical problem usually work by assembling local elementary models, requiring the mesh of the whole domain. Starting from the principles of condensation on the boundary conditions and applying a technique of "virtual integration" the integral methods mesh only the border. Highly efficient and taking advantage of integration singularities, they are adapted to contemporary problems and are destined to be developped. This article presents the basics of the singularity method on mechanical examples (solid and fluid) and proposes extensions to other areas of physics.

Auteur(s)

  • Yves GOURINAT : Professeur à l’Institut Supérieur de l’Aéronautique et de l’Espace (ISAE-SUPAERO) - Institut Clément Ader UMR CNRS 5312, Université de Toulouse, Toulouse, France

INTRODUCTION

Les méthodes de numérisation et modélisation de problèmes physiques opérées dans les applications industrielles sont essentiellement locales. La plus répandue d’entre elles – le calcul aux éléments finis – ramène le modèle matriciel global à une série de matrices locales (élémentaires) d’abord générées par un principe variationnel de type puissances virtuelles (avec interpolations locales) puis assemblées numériquement. Des techniques particulaires les complètent (différences finies, éléments discrets, SPH) en considérant des zones d’influence particulières, mais ces techniques relèvent également in fine de la juxtaposition de problèmes locaux.

Ces méthodes présentent de très grandes qualités opérationnelles, qui expliquent leur succès et leur quasi-généralisation. Leur caractère local qui permet précisément de ramener le problème global à une série de problèmes isoparamétriques est un puissant atout, mais c’est également l’origine de leur limitation. Tous d’abord, elles nécessitent un maillage local et complet de tout le domaine dans l’intégralité de sa géométrie et de sa topologie. Ensuite, elles ne sont pas optimales puisque précisément les modèles assemblés – de grande taille – sont creux de manière structurelle, de par le caractère local des éléments. De fait, des techniques numériques particulières ont été adaptées à de tels systèmes. Enfin, les éléments, de par la standardisation et la simplicité du modèle local, requièrent un certain nombre de restrictions sur leur nature et leur forme, qui entraînent des risques d’erreurs ou divergences locales dans certains types de problèmes particuliers.

De fait, une première tentative de palier ces difficultés a consisté à condenser des sous-structures, ce qui revient à représenter un assemblage uniquement par ses interfaces. La condensation statique de Guyan, puis la synthèse modale dynamique de Craig-Bampton ont permis des avancées très importantes dans ce sens. Mais dans tous les cas, le maillage permettant de générer la condensation reste local. L’étape décisive pour aller plus loin consiste donc à remonter en amont, pour proposer mathématiquement un problème aux limites, permettant de manière intrinsèque, de ne plus mailler que les limites du problème. On arrive ainsi aux méthodes de frontières, dont le principe est présenté dans cet article. L’intérêt est triple : la taille du problème numérique est drastiquement diminuée, son caractère plein est conforté (ce qui accroît la précision) et enfin ces techniques sont bien adaptées à certains problèmes irréguliers, ce qui les rend à la fois parallèles et complémentaires des méthodes locales précédentes.

Dans cet article, les méthodes intégrales sont ainsi présentées sur la base de problèmes simples mais représentatifs de l’efficacité de ces techniques. De fait, de nombreux problèmes en physique sont, directement ou indirectement, liés à des fonctions harmoniques. On peut citer les problèmes élastiques réguliers ou singuliers, la flexion des plaques de Lagrange, la tension dans une capacité électrostatique, etc.

Ainsi, dans la première partie de l’article, la torsion solide élastique en géométrie quelconque sert d’exemple générique pour la présentation du principe de la méthode. Dans la deuxième partie, c’est la théorie des singularités en fluide parfait irrotationnel qui est abordée. Enfin, la troisième partie propose – à titre prospectif – des ouvertures en physique.

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KEYWORDS

integral methods   |   numerical condensation   |   boundary elements   |   physical singularities

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af5070


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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - WANG (Q.), ZHOU (W.), CHENG (Y.), MA (G.), CHANG (X.), HUANG (Q.) -   An adaptive cell-based domain integration method for treatment of domain integrals in 3D boundary element method for potential and elasticity problems.  -  Acta Mechanica Solida Sinica 30 (1), 99-111 (2017).

  • (2) - WANG (Q.), ZHOU (W.), CHENG (Y.), MA (G.), CHANG (X.) -   Line integration method for treatment of domain integrals in 3D boundary element method for potential and elasticity problems.  -  Engineering Analysis with Boundary Elements 75, 1-11 (2017).

  • (3) - LAROZE (S.) -   Les Relativités – Les fondements de la physique et leurs évolutions.  -  ISBN 9782364935846. Cepadues (2017).

  • (4) - LEGAUD (T.), GRIPPON (E.), LAPOUJADE (V.), CHIAMBARETTO (P.L.), NGUYEN (S.K.), GOURINAT (Y.), FASCIO (V.) -   Application of the Discrete Elements Method to frequency analysis & use of the « bond » method for fracture modeling.  -  14th International LS-DYNA Conference, Detroit Jun. 2016.

  • (5) - GOURINAT (Y.) -   Une présentation matricielle des...

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