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RÉSUMÉ
Le fort développement des réseaux de communication a relancé la théorie très ancienne des files d'attente. Cet article tente une présentation entre théorie et résultats, en fournissant éléments de base, exemples et preuves dans le but d’illustrer la diversité des applications et de permettre la compréhension de la dynamique sous-jacente. Après une présentation des processus ponctuels généraux et des processus de Poisson, est détaillée la structure des processus de sauts markoviens. Les schémas de Matthes y jouent un rôle central, aussi bien dans la modélisation que dans la simulation de tels processus (simulations à événements discrets). Pour terminer, les différentes catégories de files d'attente et réseaux de files d'attente sont exposées.
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Jean LACROIX : Professeur des Universités
INTRODUCTION
La théorie des files d'attente, qui est relativement ancienne, connaît actuellement un regain d'intérêt dû à l'extraordinaire développement des réseaux de communication. Il existe une littérature extensive sur la question et cet exposé tente de trouver une voie médiane entre des ouvrages de nature très théorique ou de simples fascicules de résultats. Devant l'impossibilité de procéder à une étude exhaustive des nombreuses situations pratiques, il semble important de fournir au lecteur les éléments de base qui lui permettront de s'adapter à la diversité des applications, et cela, avec un niveau d'abstraction acceptable. C'est pourquoi nombre de preuves et d'exemples sont fournis, pour lui permettre de bien comprendre la dynamique sous-jacente, en particulier les principes de base du concept d'évolution markovienne. Ces calculs et constructions reposent en grande partie sur des considérations développées dans l'article « Chaînes de Markov » dans cette même base documentaire. Après une présentation des processus ponctuels généraux et des processus de Poisson, on s'intéresse à la structure des processus de sauts markoviens. Les schémas de Matthes y jouent un rôle central, aussi bien dans la modélisation que dans la simulation de tels processus (simulations à événements discrets). Les différentes catégories de files d'attente et réseaux de files d'attente sont présentées dans les deux dernières sections. Le lecteur pourra trouver diverses extensions et de nombreux compléments dans les ouvrages cités en référence.
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2. Processus markoviens de sauts
Dans tout ce qui suit, E est un ensemble dénombrable, éventuellement fini. Nous allons étudier les processus de Markov à temps continu à valeurs dans E. On les appelle aussi « chaînes de Markov à temps continu » ou encore « processus markoviens de sauts ». La notion de processus markovien de sauts est une généralisation directe de la notion de chaîne de Markov à temps discret. Comme on peut s'y attendre, la formulation en sera très proche et nous renvoyons le lecteur à l'article de cette collection, pour les définitions, les propriétés de base et les matrices de transition.
2.1 Définition
On appelle « processus aléatoire » à temps continu, la donnée d'une famille (Xt), t ≥ 0, de variables aléatoires à valeurs dans l'espace d'états E et définies sur un espace Ω muni d'une probabilité
. La valeur de Xt est interprétée comme l'état d'un système à l'instant t. En fait le couple
est le plus souvent non explicité et les seules caractéristiques importantes et observables sont les « lois conjointes » c'est-à-dire les lois des vecteurs
pour tous systèmes d'instants 0 ≤ t0 < t1… < tn et tout n ≥ 0. On dit d'ailleurs que deux processus sont équivalents s'ils ont la même famille de lois conjointes. Soit λ(x), x ∈ E, une famille de réels strictement positifs, une probabilité µ et une matrice de transition Q sur E telle que Q(x,x) = 0 pour tout x ∈ E. On peut décrire intuitivement un processus markovien de sauts de la façon suivante : on tire un point initial x 0 selon la loi µ et l'on reste en ce point x0 un temps donné par une variable aléatoire...
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DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
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Relations entre probabilités et équations aux dérivées partielles
ANNEXES
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