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RÉSUMÉ
Le fort développement des réseaux de communication a relancé la théorie très ancienne des files d'attente. Cet article tente une présentation entre théorie et résultats, en fournissant éléments de base, exemples et preuves dans le but d’illustrer la diversité des applications et de permettre la compréhension de la dynamique sous-jacente. Après une présentation des processus ponctuels généraux et des processus de Poisson, est détaillée la structure des processus de sauts markoviens. Les schémas de Matthes y jouent un rôle central, aussi bien dans la modélisation que dans la simulation de tels processus (simulations à événements discrets). Pour terminer, les différentes catégories de files d'attente et réseaux de files d'attente sont exposées.
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Jean LACROIX : Professeur des Universités
INTRODUCTION
La théorie des files d'attente, qui est relativement ancienne, connaît actuellement un regain d'intérêt dû à l'extraordinaire développement des réseaux de communication. Il existe une littérature extensive sur la question et cet exposé tente de trouver une voie médiane entre des ouvrages de nature très théorique ou de simples fascicules de résultats. Devant l'impossibilité de procéder à une étude exhaustive des nombreuses situations pratiques, il semble important de fournir au lecteur les éléments de base qui lui permettront de s'adapter à la diversité des applications, et cela, avec un niveau d'abstraction acceptable. C'est pourquoi nombre de preuves et d'exemples sont fournis, pour lui permettre de bien comprendre la dynamique sous-jacente, en particulier les principes de base du concept d'évolution markovienne. Ces calculs et constructions reposent en grande partie sur des considérations développées dans l'article « Chaînes de Markov » dans cette même base documentaire. Après une présentation des processus ponctuels généraux et des processus de Poisson, on s'intéresse à la structure des processus de sauts markoviens. Les schémas de Matthes y jouent un rôle central, aussi bien dans la modélisation que dans la simulation de tels processus (simulations à événements discrets). Les différentes catégories de files d'attente et réseaux de files d'attente sont présentées dans les deux dernières sections. Le lecteur pourra trouver diverses extensions et de nombreux compléments dans les ouvrages cités en référence.
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4. Réseaux de files d'attente
Un réseau est un ensemble de files d'attente en interaction. Ces files d'attente peuvent être de différents types et les politiques de routage extrêmement variées. Il n'est donc pas question d'en faire une théorie générale, l'étude de la plupart de ces réseaux ne pouvant être menée à bien que par des simulations.
4.1 Réseaux de Jackson
Nous allons nous restreindre à la classe la plus importante, celle des réseaux de Jackson. Ils sont constitués de K stations de type M/M/1. Dans chacune des stations i = 1,2,…, K, il y a un seul serveur qui utilise des temps de service exponentiels de paramètre µi. Des clients peuvent arriver directement de l'extérieur du système à la station i, suivant un processus de Poisson de paramètre λi ≥ 0, le cas λ i = 0 correspondant au cas où il n'y a pas de telle arrivée. A la sortie de la station i, le client choisit avec probabilité r (i,j) d'aller dans la station j, et il s'y retrouve instantanément, ou avec probabilité r (i,K + 1) ≥ 0 de sortir définitivement du système. Pour éviter de « fausses transitions », on impose r ( i,i) = 0 pour 1 ≤ i ≤ K, c'est-à-dire qu'un client sortant de la station i ne peut y rentrer immédiatement (on verra plus loin comment lever cette restriction). On a donc, pour tout i = 1,…, K,
. Les variables aléatoires représentant les temps de service, les intervalles d'arrivées de l'extérieur, les choix successifs des clients sont indépendantes. On dit que le réseau est fermé s'il n'y a aucun échange avec l'extérieur (donc ni arrivée ni sortie : λ i = r (i,K + 1) = 0, pour tout i). Sinon, on dit qu'il est ouvert.
Soit
le vecteur représentant l'état du système à l'instant t à valeurs dans l'espace d'états
...
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DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
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Relations entre probabilités et équations aux dérivées partielles
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