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Auteur(s)
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Sylvie MÉLÉARD : Ancienne élève de l’École normale supérieure de Fontenay-aux-Roses - Agrégée de mathématiques - Professeur de mathématiques à l’Université Paris 10 Habilitation à diriger des recherches en Probabilités
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Lire l’articleINTRODUCTION
L’objet de la théorie des probabilités est l’analyse mathématique de phénomènes dans lesquels le hasard intervient. Ces phénomènes sont appelés des phénomènes aléatoires.
Un phénomène est dit aléatoire si, reproduit maintes fois dans des conditions identiques, il se déroule chaque fois différemment de telle sorte que le résultat de l’expérience change d’une fois à l’autre de manière imprévisible.
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1. Phénomènes aléatoires
On peut donner des exemples variés de tels phénomènes :
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jeu de pile ou face ;
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jeu de lancer de dés ;
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durée de vie d’une ampoule électrique ;
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temps de passage d’un bus ;
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promenade d’un ivrogne : un pas en avant, un pas en arrière… ;
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trajectoire d’une poussière de pollen sur la surface de l’eau d’un vase.
Dans les deux premiers exemples, la différence entre les résultats, si on réitère l’expérience, peut être liée à l’impulsion initiale communiquée au dé, à la rugosité de la table, aux vibrations du plancher… Le hasard n’est donc en fait que l’illustration de la méconnaissance des conditions initiales, car la pièce ou le dé ont des trajectoires parfaitement définies par la mécanique classique.
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Ainsi, toutes ces expériences présentent comme point commun des variations liées à la présence de facteurs secondaires influant sur le résultat de l’expérience qu’on ne sait pas contrôler. Il est évident que tous les effets physiques dans la nature fonctionnent ainsi, et tout phénomène déterministe est inévitablement accompagné d’écarts aléatoires. Néanmoins, pour certains phénomènes, on peut négliger les éléments aléatoires en remplaçant le phénomène réel par un schéma simplifié : on sélectionne pour ce faire les paramètres les plus importants, c’est la méthode usuelle de la mécanique.
L’idée à retenir est donc que la notion de hasard, ou d’aléatoire, est liée à la méconnaissance de paramètres intervenant dans une expérience, ou à la trop grande multitude de ceux-ci. (Il est alors impossible de les faire entrer dans un traitement de physique classique).
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Chacun est maintenant familiarisé avec le concept de probabilité. La probabilité qu’il pleuve la semaine prochaine, la probabilité de gagner à la loterie ou celle de survivre à un crash aérien sont des préoccupations quotidiennes. Les assurances fixent le contrat d’assurance-vie d’un individu de 22 ans, grâce à une estimation de sa probabilité de survie à 80 ans.
Dans de nombreux domaines, les probabilités interviennent : les...
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - BROWN (R.) - A brief account of microscopical observations made in the months of june, july and august, 1827, on the particles contained in the pollen of plants; and on the general existence of active molecules in organic and inorganic bodies - . Philos. Mag. Ann. of Philos. New ser. 4, 161-178 (1828).
-
(2) - EINSTEIN (A.) - Investigations on the theory of the Brownian movement - . London, Methuen (1926).
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(3) - KARATZAS (I.), SHREVE (S.E.) - Brownian motion and stochastic calculus - . Springer-Verlag (1991).
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(4) - KOLMOGOROV (A.N.) - Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung - . Ergeb. Math. 2, N.3 (1933) (english translation: Fundations of probability theory, Chelsea Publishing Co., New York (1950)).
-
(5) - LAPEYRE (B.), PARDOUX (E.), SENTIS (R.) - Méthodes de Monte-Carlo pour les équations de transport et de diffusion - . Mathématiques et applications 29, Springer (1998).
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(6)...
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