Caractéristiques générales des éléments
Modélisation des structures par éléments finis

BM5015 v1 Article de référence

Caractéristiques générales des éléments
Modélisation des structures par éléments finis

Auteur(s) : Jean-Jacques BARRAU, Michel SUDRE

Relu et validé le 01 févr. 2015 | Read in English

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Sommaire
Médias

Présentation

1 - Présentation de la méthode

1.1 - Matrice de rigidité
1.2 - Matrice de rigidité pour une structure treillis

Figure 3 - Treillis
1.3 - Matrice de rigidité pour une structure volumique
1.4 - Méthode de résolution

Figure 7 - Poutre encastrée

2 - Caractéristiques générales des éléments

2.1 - Préambule

Figure 8 - Élément barre ou poutre
2.2 - Éléments unidimensionnels
2.3 - Éléments bidimensionnels

Figure 9 - Éléments bidimensionnels
2.4 - Éléments tridimensionnels

Figure 13 - Treillis Figure 14 - Modélisation du treillis

3 - Cas d’étude

3.1 - Cas d’étude n° 1 : modélisation d’une structure par barres

Figure 15 - Mouvement d’ensemble
3.2 - Cas d’étude n° 2 : modélisation d’une structure par barres et poutres

Figure 16 - Structure rotulée Figure 17 - Modélisation
3.3 - Cas d’étude n° 3 : tôle encastrée en flexion dans son plan

Figure 20 - Plaque encastrée Figure 21 - Modélisation Figure 24 - Déformées en flexion
3.4 - Cas d’étude n° 4 : modélisation par membranes

Figure 25 - Plaque trouée en traction
3.5 - Cas d’étude n° 5 : tôle sollicitée en torsion

Figure 29 - Plaque en torsion

4 - Conclusion

Bibliographie & annexes

Présentation

Auteur(s)

Jean-Jacques BARRAU : Professeur à l’Université Paul-Sabatier-Toulouse-III
Michel SUDRE : Professeur agrégé à l’Université Paul-Sabatier-Toulouse-III

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INTRODUCTION

L’‘objectif de cet article est de donner les bases essentielles de connaissances pour comprendre la méthode des éléments finis et pour pouvoir utiliser efficacement un logiciel existant dans le cadre d’un calcul de structure dans le domaine linéaire. Les lecteurs qui souhaitent approfondir leurs connaissances théoriques sur ce sujet peuvent se reporter aux documents donnés en référence.

Dans tout cet article, il est fait l’hypothèse principale que le comportement de la structure est linéaire : les déplacements en tous points sont proportionnels aux efforts extérieurs. Cela impose que le matériau ait un comportement linéaire (élasticité) et que les déformations soient proportionnelles aux déplacements (petits déplacements).

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-bm5015

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2. Caractéristiques générales des éléments

2.1 Préambule

Toute structure peut théoriquement être analysée à partir d’une discrétisation en éléments tridimensionnels. Considérons par exemple, figure 7, un tube encastré à une extrémité et soumis à l’autre extrémité à une force ponctuelle F. Réalisons la discrétisation volumique représentée sur la figure 7. Ce maillage comporte 216 éléments de volume et 360 nœuds. En chaque nœud, il y a trois inconnues : les trois composantes du vecteur déplacement. Pour résoudre ce problème, il faut donc résoudre un système linéaire comportant 3 x 360 = 1 080 inconnues.

Malgré les progrès constants des ordinateurs, dès que la structure est importante, une modélisation tridimensionnelle entraîne généralement un nombre d’inconnues beaucoup trop important.

Pour pouvoir résoudre le problème, l’opérateur est amené à modéliser, si c’est possible, cette structure. Cela revient à faire des hypothèses sur les champs des contraintes et/ou des déplacements. Les modélisations les plus classiques sont celles qui reviennent à indiquer que certaines parties peuvent être considérées comme des poutres, des plaques ou des coques. Dans l’exemple ci-dessus, la structure peut être modélisée par une poutre. Si cette modélisation a l’énorme avantage de diminuer la taille du problème elle n’a pas la même richesse qu’une modélisation tridimensionnelle. Dans cet exemple il est bien évident que la discrétisation poutre ne permettra pas, par exemple, de connaître le champ des contraintes au droit d’introduction de la force ; par contre, elle permettra d’accéder, avec une très bonne précision, à la flèche des points de la ligne moyenne.

Si la structure ne permet pas une modélisation poutre, plaque ou coque, il ne reste plus alors comme possibilité que la modélisation tridimensionnelle qui...

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