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1 - NOTATIONS

2 - CADRE MATHÉMATIQUE

  • 2.1 - Système dynamique commandé et critère associé
  • 2.2 - Différents types de contraintes
  • 2.3 - Un format général

3 - CONTRAINTES SUR LA COMMANDE

  • 3.1 - Dérivée du critère
  • 3.2 - Conditions du premier ordre avec contraintes sur la commande
  • 3.3 - Principe du minimum de Pontriaguine (PMP)

4 - PRINCIPE DE PONTRIAGUINE AVEC CONTRAINTES AUX DEUX BOUTS

  • 4.1 - Lagrangien et état adjoint
  • 4.2 - Conservation du préhamiltonien
  • 4.3 - Paramètres de décision
  • 4.4 - Horizon variable
  • 4.5 - Temps minimal, géodésiques

5 - ALGORITHME DE TIR ET DISCRÉTISATION DU PROBLÈME

  • 5.1 - Problèmes sans contraintes
  • 5.2 - Problèmes avec contraintes aux deux bouts
  • 5.3 - Discrétisation du problème

6 - CONDITIONS D’OPTIMALITÉ DU SECOND ORDRE

  • 6.1 - Développements du critère réduit
  • 6.2 - Expression du hessien du critère réduit
  • 6.3 - Extension au cas de contraintes aux deux bouts
  • 6.4 - Lien avec l’algorithme de tir

7 - PROBLÈMES AVEC CONTRAINTES SUR L’ÉTAT

  • 7.1 - Principe de Pontriaguine
  • 7.2 - Ordre des contraintes sur l’état et conditions de jonction
  • 7.3 - Système d’optimalité alternatif

8 - PROBLÈMES AFFINES EN LA COMMANDE

  • 8.1 - Cadre : coût final et temps optimal
  • 8.2 - Arcs bang et singuliers
  • 8.3 - Cas particuliers — Problèmes de dimension 2 et 3
  • 8.4 - Contraintes sur l'état

9 - PROGRAMMATION DYNAMIQUE

  • 9.1 - Principe de programmation dynamique
  • 9.2 - Équation Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)
  • 9.3 - Solution de viscosité
  • 9.4 - Problèmes en horizon infini
  • 9.5 - Problèmes de temps d'arrêt
  • 9.6 - Commande impulsionnelle

10 - SCHÉMAS NUMÉRIQUE POUR L'ÉQUATION HJB

  • 10.1 - Différences finies, état scalaire
  • 10.2 - État multidimensionnel
  • 10.3 - Problèmes en horizon infini
  • 10.4 - Problèmes de temps d'arrêt
  • 10.5 - Algorithmes semi-lagrangiens
  • 10.6 - Bilan sur les méthodes numériques pour l'équation HBJ

11 - CONCLUSION

Article de référence | Réf : AF1374 v1

Cadre mathématique
Commande optimale

Auteur(s) : J. Frédéric BONNANS

Date de publication : 10 avr. 2015

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RÉSUMÉ

L'objet de la commande optimale est l'optimisation de systèmes dynamiques suivant différents objectifs : atteinte d'une cible en temps ou énergie minimale, maximisation du rendement d'un processus industriel par exemple. Pour cela on joue à la fois sur des paramètres indépendants du temps et sur les commandes qui, elles, dépendent du temps. L'article analyse les conditions d'optimalité du premier et second ordre, et leur résolution par discrétisation temporelle, algorithme de tir, ou programmation dynamique.

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ABSTRACT

Optimal control theory analyzes how to optimize dynamical systems with various criteria: reaching a target in minimal time or with minimal energy, maximizing the efficiency of an industrial process, etc. This involves the optimization of both time-independent parameters and of the control variables that are a function of time. This article analyzes the first- and second-order optimality conditions, and how to solve them by time discretization, the shooting algorithm, or dynamic programming.

Auteur(s)

  • J. Frédéric BONNANS : Directeur de recherche INRIA - INRIA et centre de mathématiques appliquées, école polytechnique, Palaiseau

INTRODUCTION

On dit qu’un système dynamique est commandé s’il est possible d’agir sur lui par des variables dépendant du temps, appelées commandes. Illustrons ce concept dans le cas d’un engin spatial, décrit par des variables de position et vitesse (dans ) h et V, et une masse m > 0, soit 7 variables d’état. La dynamique est, omettant l’argument temps, , et . Ici c est une constante positive et F  (h, V) correspond aux forces de gravité et (le cas échéant) aérodynamiques. La commande est la force appliquée, dont on a noté la norme euclidienne par , soumise à une contrainte du type . Étant donné un point initial fixé, on cherche à atteindre une cible (partie de l’espace d’état) en minimisant un compromis entre temps de parcours et énergie dépensée.

Pour l’implémentation en temps réel d’une commande il est nécessaire de prendre en compte les moyens d’observations et la reconstitution de l’état, en considérant des aspects de traitement du signal et le choix de l’électronique de commande. Au contraire, dans cet article, nous ne considérons que l’étude amont, dans laquelle on se donne un cadre déterministe et on calcule donc hors ligne une commande optimale. L’allure de cette dernière pourra guider la conception de la commande en temps réel.

L’exposé suivra d’abord l’approche de Lagrange et Pontriaguine qui consiste à étudier les variations d’une trajectoire optimale pour déterminer les propriétés de cette dernière. On analysera les conditions d’optimalité du premier et second ordre, en lien avec l’algorithme de tir, avec une attention toute particulière pour les problèmes avec contraintes sur l’état. Dans une seconde partie, on abordera l’approche par programmation dynamique et équation de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB). Après avoir introduit la notion de solution de viscosité de l’équation HJB, on présentera les problèmes de temps d’arrêt et de commande impulsionnelle, et on finira par l’étude des schémas de résolution numérique.

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KEYWORDS

dynamical systems   |   path following   |   minimal time   |   shooting algorithm   |   dynamical programming

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af1374


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2. Cadre mathématique

2.1 Système dynamique commandé et critère associé

Considérons des systèmes dynamiques commandés du type

( 8 )

Les données sont l’horizon ou temps final T > 0, la dynamique, , supposée lipschitzienne et de classe C, et la condition initiale y 0. On appelle u (t) et y (t) la commande et l’état à l’instant t. On choisit et comme espaces pour la commande et pour l’état. Alors (8) (i) est une égalité dans L (0, T)n, donc aussi presque partout. Une variante du théorème de Cauchy-Lipschitz permet de vérifier que, pour tout  , l’équation d’état (8) a dans une solution unique notée y[u, y0] (ou y[u] si y0 est fixé), et d’après le lemme de Gronwall, on a pour un certain Cf ne dépendant que de la constante de Lipschitz de f :

...

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - ARONNA (M.S.), BONNANS (J.F.), MARTINON (P.) -   A shooting algorithm for optimal control problems with singular arcs  -  J. Optim. Theory Appl., 158  (2) : 419-459 (2013).

  • (2) - BARDI (M.), CAPUZZO-DOLCETTA (I.) -   Optimal control and viscosity solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman equations  -  Birkhäuser, Boston, MA (1997).

  • (3) - BARLES (G.) -   Solutions de viscosité des équations de Hamilton-Jacobi  -  Springer-Verlag, Paris (1994).

  • (4) - BAYEN (T.), RAPAPORT (A.), SEBBAH (M.) -   Minimal time control of the two tanks gradostat model under a cascade inputs constraint  -  SIAM J. Control Optim. 52 (4) : 2568-2594 (2014).

  • (5) - BELLMAN (R.) -   Dynamic programming  -  Princeton University Press, Princeton, N. J. (1957).

  • (6) - BETTS (J.T.) -   Practical methods...

ANNEXES

  1. 1 Logiciels

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