Approcher les équations d’Euler
Des schémas numériques pour la mécanique des fluides compressibles

En proposant une approche complémentaire de l’expérience et de la modélisation, la simulation numérique est devenue l’un des trois piliers de la recherche scientifique. La mécanique des fluides est l’un des secteurs pionniers dans l’utilisation de ce triptyque et l’obtention de schémas numériques bien adaptés pour la mécanique des fluides est un sujet qui occupe les numériciens depuis plus de 60 ans. L’une des difficultés est de concilier précision et robustesse avec un coût de calcul raisonnable, et dès lors les verrous peuvent être assez différents selon les applications visées. Ainsi, malgré les très nombreux travaux et des avancées dans un sujet qui est toujours d’actualité, il est assez naturel de ne pas avoir de technique uniformément efficace dans tous les régimes.

L’objectif de cet article n’est donc pas de proposer un schéma parfait qui n’existe pas, ni de détailler l’ensemble des très nombreuses techniques d’une abondante littérature, mais plutôt de décrire des choix raisonnablement simples qui sont de bons candidats pour débuter. Il y aura nécessairement une certaine subjectivité dans ces choix, néanmoins certaines alternatives et les pistes d’amélioration les plus courantes seront mentionnées. Le lecteur y trouvera un point d’entrée qui lui permettra d’avoir une solution programmable au prix d’un effort réaliste, capable de réaliser des simulations d’écoulements compressibles dans des configurations standard. Il est d’ailleurs encouragé à programmer lui-même ces méthodes pour des maillages 2D non structurés. Une partie de leur efficacité résidant dans la vitesse des calculs, il est important de les tester pour voir leurs performances, leurs difficultés et comment les optimiser. Ceci dépendant en partie du langage de programmation, des machines qui feront les calculs et de la manière de programmer, rien ne remplace l’expérience.

De la même manière, le lecteur est encouragé à approfondir le sujet en fonction des applications qui l’intéressent. Un importante littérature est disponible pour proposer diverses solutions à la plupart des problèmes qui peuvent se poser en pratique. La recherche est toujours très active sur le sujet et de nouvelles techniques voient continuellement le jour pour repousser les limites de la simulation numérique. La bibliographie présente ici n’est qu’une fraction infime des travaux dans le domaine.

La méthodologie adoptée dans ce document sera la suivante. On présentera dans chaque partie les éléments de base permettant une bonne mise en place des notions. Ceux-ci seront parfois complétés par des remarques, voire de petites pastilles appelées « Pour aller plus loin ». Comme leur nom l’indique, elles abordent des notions complémentaires, mais qui ne sont pas nécessaires à la compréhension générale. Ces notions sont toutefois importantes à connaître dans l’absolu.

On s’intéressera tout d’abord à l’approximation des équations d’Euler, puis on verra des techniques pour prendre en compte les termes de viscosité/diffusion et on dira enfin quelques mots de la prise en compte d’autres termes comme la chimie ou la turbulence.