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1 - APPROCHER LES ÉQUATIONS D’EULER

2 - EXTENSIONS : PRENDRE EN COMPTE VISCOSITÉ, DIFFUSION, CHIMIE ET AUTRES

3 - CONCLUSION

4 - NOTES

Article de référence | Réf : AF512 v1

Notes
Des schémas numériques pour la mécanique des fluides compressibles

Auteur(s) : Rodolphe TURPAULT

Date de publication : 10 nov. 2020

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RÉSUMÉ

Des techniques numériques permettant de réaliser des simulations d'écoulements compressibles régis par les équations de Navier-Stokes sont ici proposées. Ces techniques ont été choisies parmi les nombreuses disponibles avec un souci de simplicité. La manière de les obtenir et leur intérêt sont détaillés. Les problématiques sont également décrites afin de permettre de choisir d'autres techniques en connaissance de cause si besoin. Quelques extensions couramment rencontrées sont également discutées.

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ABSTRACT

Numerical Schemes for Compressible Fluid Mechanics

The objective of this paper is to propose numerical techniques to perform simulations of compressible fl ows governed by Navier-Stokes equations. These techniques
have been chosen among the many available keeping simplicity in mind. The way to obtain them and their interest are detailed. The issues are also described in order
to allow to choose other techniques in full knowledge of the facts if necessary. Some commonly encountered extensions are also discussed.

Auteur(s)

  • Rodolphe TURPAULT : Professeur des universités Institut de Mathématiques de Bordeaux et Bordeaux INP, Talence, France

INTRODUCTION

En proposant une approche complémentaire de l’expérience et de la modélisation, la simulation numérique est devenue l’un des trois piliers de la recherche scientifique. La mécanique des fluides est l’un des secteurs pionniers dans l’utilisation de ce triptyque et l’obtention de schémas numériques bien adaptés pour la mécanique des fluides est un sujet qui occupe les numériciens depuis plus de 60 ans. L’une des difficultés est de concilier précision et robustesse avec un coût de calcul raisonnable, et dès lors les verrous peuvent être assez différents selon les applications visées. Ainsi, malgré les très nombreux travaux et des avancées dans un sujet qui est toujours d’actualité, il est assez naturel de ne pas avoir de technique uniformément efficace dans tous les régimes.

L’objectif de cet article n’est donc pas de proposer un schéma parfait qui n’existe pas, ni de détailler l’ensemble des très nombreuses techniques d’une abondante littérature, mais plutôt de décrire des choix raisonnablement simples qui sont de bons candidats pour débuter. Il y aura nécessairement une certaine subjectivité dans ces choix, néanmoins certaines alternatives et les pistes d’amélioration les plus courantes seront mentionnées. Le lecteur y trouvera un point d’entrée qui lui permettra d’avoir une solution programmable au prix d’un effort réaliste, capable de réaliser des simulations d’écoulements compressibles dans des configurations standard. Il est d’ailleurs encouragé à programmer lui-même ces méthodes pour des maillages 2D non structurés. Une partie de leur efficacité résidant dans la vitesse des calculs, il est important de les tester pour voir leurs performances, leurs difficultés et comment les optimiser. Ceci dépendant en partie du langage de programmation, des machines qui feront les calculs et de la manière de programmer, rien ne remplace l’expérience.

De la même manière, le lecteur est encouragé à approfondir le sujet en fonction des applications qui l’intéressent. Un importante littérature est disponible pour proposer diverses solutions à la plupart des problèmes qui peuvent se poser en pratique. La recherche est toujours très active sur le sujet et de nouvelles techniques voient continuellement le jour pour repousser les limites de la simulation numérique. La bibliographie présente ici n’est qu’une fraction infime des travaux dans le domaine.

La méthodologie adoptée dans ce document sera la suivante. On présentera dans chaque partie les éléments de base permettant une bonne mise en place des notions. Ceux-ci seront parfois complétés par des remarques, voire de petites pastilles appelées « Pour aller plus loin ». Comme leur nom l’indique, elles abordent des notions complémentaires, mais qui ne sont pas nécessaires à la compréhension générale. Ces notions sont toutefois importantes à connaître dans l’absolu.

On s’intéressera tout d’abord à l’approximation des équations d’Euler, puis on verra des techniques pour prendre en compte les termes de viscosité/diffusion et on dira enfin quelques mots de la prise en compte d’autres termes comme la chimie ou la turbulence.

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KEYWORDS

compressible flows simulations   |   finite volumes schemes   |   compressible Euler equation   |   compressible Navier-Stokes equation   |   high order

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af512


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4. Notes

1 Il existe des définitions équivalentes de , on peut par exemple imposer que l’énergie interne soit strictement positive plutôt que la pression.

2 De même, il est préférable que ces mailles aient de bonnes propriétés géométriques, ce qui améliore la précision des schémas.

3 à partir de maintenant, est donc une approximation de la valeur moyenne de U dans la maille K à tt n. On conservera toutefois abusivement la notation pour des questions de simplicité.

4 La consistance des flux numériques n’est pas équivalente à la consistance au sens des différences finies, sauf sur des maillages à pas constant. Elle suffit à avoir de la convergence en maillage, mais dans le cas où l’on a un très fort rapport d’aspect entre deux mailles on peut se retrouver avec des artefacts numériques. C’est pourquoi il faut à tout prix éviter les maillages statiques avec une zone extrêmement raffinée. Si un raffinement de maillage est nécessaire, on préférera donc une technique dynamique.

En 1D, on note l’interface entre les mailles i et i + 1.

6 On dit qu’un schéma est stable au sens de la norme vectorielle . La stabilité est nécessaire à la convergence du schéma au sens de la norme ||·||.

7 Un problème de Riemann est un problème pour lequel la condition initiale est donnée par 2 états constants U G et U D de part et d’autre d’une interface :

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - ABGRALL (R.), KARNI (S.) -   A comment on the computation of non-conservative products.  -  J. Comput. Phys, 229 :2759-2763 (2010).

  • (2) - BEN-ARTZI (M.), FALCOVITZ (J.) -   A second-order godunov-type scheme for compressible fuid dynamics.  -  Journal of Computational Physics, 55(1) :1 – 32 (1984).

  • (3) - CHALONS (C.), GIRARDIN (M.), KOKH (S.) -   An all-regime Lagrange-projection like scheme for the gas dynamics equations on unstructured meshes.  -  Communications in Computational Physics, 20(1):188-233 (2016).

  • (4) - CLAIN (S.), DIOT (S.), LOUBÈRE (R.) -   A high-order fnite volume method for systems of conservation laws Multi-dimensional Optimal Order Detection (MOOD).  -  Journal of Computational Physics, 230(10):4028 –4050 (2011).

  • (5) - COCKBURN (B.), LIN (S-Y.), SHU (C-W.) -   TVB Runge Kutta Local Projection Discontinuous Galerkin Finite Element Method for Conservation Laws III : One-Dimensional Systems.  -  Journal of Computational Physics, 84 :90, September 1989.

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