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RÉSUMÉ
Cet article traite de l’intégration numérique des équations différentielles raides, et explique les phénomènes qui apparaissent, en s'appuyant sur des exemples issus des réactions chimiques et des équations aux dérivées partielles discrétisées en espace. Une méthode de reconnaissance d’une équation différentielle raide (méthodes standards, phénomène numériques, etc.) est proposée. Sont ensuite introduits les intégrateurs numériques d’ordre supérieur : méthodes de Runge-Kutta implicites, méthodes multipas, méthodes d’extrapolation, programmation des intégrateurs numériques. Pour terminer, des méthodes pour des problèmes particuliers sont proposés.
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Gerhard WANNER : Professeurs - Département de mathématiques - Université de Genève
INTRODUCTION
Dans de nombreuses applications, la dynamique d'un système peut être modélisée par des équations différentielles. L'étude de systèmes mécaniques (par exemple en astronomie ou en dynamique moléculaire), l'analyse des circuits électriques ou la théorie du contrôle (robotique) nous fournissent de tels problèmes. Souvent, pour les problèmes dits raides, les méthodes standards ne fournissent pas une solution correcte en un temps de calcul acceptable.
Ce dossier récapitulatif explique les phénomènes qui apparaissent dans les équations différentielles raides, en s'appuyant sur des exemples issus des réactions chimiques ainsi que des équations aux dérivées partielles discrétisées en espace. Les propriétés essentielles des intégrateurs numériques pour la résolution des équations raides sont discutées (A-stabilité, domaine de stabilité). Pour des problèmes généraux, les méthodes de Runge-Kutta implicites, les méthodes multipas (BDF) et les méthodes d'extrapolation sont traitées. Pour des problèmes raides particuliers de grande dimension sont également abordées les méthodes explicites avec grande région de stabilité, les méthodes de séparation et les méthodes implicites-explicites. Une liste de programmes informatiques du domaine public est donnée en Documentation [Doc. AF 653].
Comme références sur la résolution numérique des équations différentielles raides, le lecteur pourra consulter les ouvrages généraux suivants [1] [2] [3] [4] [5] [6], mentionnées en « Pour en savoir plus ».
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1. Reconnaître une équation différentielle raide
Les équations différentielles raides, écrites sous forme autonome, sont des systèmes d'équations différentielles :
où les méthodes standards (explicites) se révèlent inefficaces. Il est cependant utile de commencer par présenter ces méthodes, car elles permettent de comprendre les phénomènes et les difficultés qui interviennent dans la résolution des problèmes raides. Pour plus de détails, on pourra consulter le dossier [AF 1 220] des Techniques de l'Ingénieur, référence [42].
1.1 Méthodes standards pour équations différentielles
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Méthode d'Euler
L'algorithme le plus simple pour calculer des approximations numériques y n de la solution y(t) aux points t 1, t 2, t 3, … est donné par :
yn +1 = yn + hf (yn )où h = t n +1 − t n est appelé longueur de pas.
Cette formule représente le début de la série de Taylor pour la solution, et possède donc une erreur locale de
pour h → 0. L'erreur accumulée sur un intervalle fixe de longueur t, c.-à-d., après
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