Méthodes numériques de base - Analyse numérique

Il est bien connu que les méthodes utilisées en mathématiques classiques sont incapables de résoudre tous les problèmes. On ne sait pas, par exemple, donner une formule pour calculer exactement le nombre x unique qui vérifie x = exp (– x) ; on ne sait pas non plus trouver la solution analytique de certaines équations différentielles ni calculer certaines intégrales définies. On remplace alors la résolution mathématique exacte du problème par sa résolution numérique qui est, en général, approchée. L’analyse numérique est la branche des mathématiques qui étudie les méthodes de résolution numérique des problèmes, méthodes que l’on appelle constructives. Par méthode constructive, on entend un ensemble de règles (on dit : algorithme) qui permet d’obtenir la solution numérique d’un problème avec une précision désirée après un nombre fini d’opérations arithmétiques.

L’analyse numérique est une branche assez ancienne des mathématiques. Autrefois, en effet, les mathématiciens développaient les outils dont ils avaient besoin pour résoudre les problèmes posés par les sciences de la nature. C’est ainsi que Newton était avant tout un physicien, Gauss un astronome… Ils s’aperçurent rapidement que les problèmes pratiques qui se posaient étaient trop compliqués pour leurs outils et c’est ainsi que, peu à peu, s’élaborèrent les techniques de l’analyse numérique. Ces méthodes ne connurent cependant leur essor actuel qu’avec l’avénement des ordinateurs à partir des années 1945-1947.

Ce qui suit n’est pas un cours théorique d’analyse numérique. Il existe d’excellents livres pour cela. Ce n’est pas non plus un catalogue de méthodes et de recettes. Pour être utilisées correctement et pour que leurs résultats soient interprétés correctement, les méthodes d’analyse numérique nécessitent une connaissance des principes de base qui ont guidé les mathématiciens ; il est très difficile, voire impossible, d’utiliser un algorithme d’analyse numérique comme une boîte noire. Pour ces raisons, une voie médiane a été choisie et les algorithmes sont toujours replacés dans leur contexte théorique ; le lecteur soucieux des démonstrations pourra se référer à la littérature correspondante.

Les méthodes d’analyse numérique sont destinées à être programmées sur ordinateur. L’arithmétique de l’ordinateur n’a qu’une précision limitée (par la technologie), ce qui pose souvent des problèmes extrêmement importants qu’il faut pouvoir analyser et éviter. C’est pour cela que le premier paragraphe est consacré à cette question.