Méthodes de simulation sans maillage

Il est bien connu depuis les débuts des éléments finis que la distorsion du maillage conduit à un manque important de précision dans les simulations. La génération du maillage est certainement la tâche la plus coûteuse dans la construction d’un modèle de simulation, si bien qu’éviter d’avoir à mailler, ou même à remailler, a été considéré comme un objectif attractif à atteindre, qui a semblé hors d’atteinte pendant des décennies.

Les méthodes sans maillage sont précisément nées pour essayer de contrer ce manque de précision issu de la distorsion du maillage, et pour essayer de minimiser la pénible étape qu’est la construction du maillage. Dans leur essence, les méthodes sans maillage sont des techniques de simulation (basées soit sur les approches par collocation soit de type Galerkin, bien que nous allons nous concentrer principalement sur les méthodes de type Galerkin) qui n’ont pas besoin de maillage pour approximer les champs du problème (champ de déplacement pour la mécanique du solide, champ de vitesse pour la mécanique des fluides, champ de température pour les problèmes thermiques…).

Après quelques années d’une intense activité, ponctuées de nombreux succès, la communauté des chercheurs a pensé que les méthodes sans maillage remplaceraient un jour les éléments finis dans nos codes commerciaux. Aujourd’hui on sait que cela ne sera pas le cas (à moins qu’une révolution complètement inattendue n’émerge dans le domaine), et les éléments finis ont tout pour perdurer, bien que les méthodes sans maillage ont permis de faire des simulations sans précédents dans des domaines tels que les écoulements à surface libre, fracture et fragmentation, les procédés entraînant de très grandes transformations, etc.

De plus, les méthodes sans maillage ont grandement aidé à comprendre les fondements mathématiques des éléments finis, et à construire de meilleures approximations avec moins d’intervention de la part de l’utilisateur.

Dans cet article, nous passons en revue les aspects les plus pertinents des méthodes sans maillage et, alors que la bibliographie existante est plutôt conséquente, nous fournissons les références les plus importantes pour le lecteur intéressé, enclin à poursuivre la lecture et l’apprentissage dans ce domaine fascinant.