Annexes
Résolution numérique des équations de Navier-Stokes par la méthode des différences finies

AF1404 v1 Article de référence

Annexes
Résolution numérique des équations de Navier-Stokes par la méthode des différences finies

Auteur(s) : Pierre SPITERI

Date de publication : 10 déc. 2022 | Read in English

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Sommaire
Médias

Présentation

1 - Modèle mathématique régissant un fluide compressible ou incompressible

1.1 - Forme générale des équations de Navier-Stokes
1.2 - Formulation adimensionnelle de l’équation de Navier-Stokes et nombre de Reynolds

2 - Formulation des équations de Navier-Stokes incompressible en termes de courant-vorticité (courant-tourbillon)

2.1 - Écoulement bidimensionnel formulés en termes de courant-vorticité

Figure 2 - Cavité bidimensionnelle
2.2 - Écoulement tridimensionnel formulé en termes de courant-vorticité

3 - Résolution des équations de Navier-Stokes formulées en vitesse-pression

3.1 - Maillages différences finies décalés et non décalés
3.2 - Schémas explicites en temps
3.3 - Schémas implicites en temps
3.4 - Stabilité des schémas

4 - Modèle de turbulence

5 - Conclusion

6 - Annexes

6.1 - Annexe 1 : expression des équations de Navier-Stokes incompressible en coordonnées cylindriques et sphériques

Figure 12 - Coordonnées cylindriques Figure 13 - Coordonnées sphériques
6.2 - Annexe 2 : expression du laplacien, du rotationnel, de la divergence et du gradient en coordonnées cylindriques et sphériques
6.3 - Annexe 3 : analyse numérique de l’équation de vorticité unidimensionnelle

Figure 14 - Évolution de …
6.4 - Annexe 4 : couche limite numérique et discrétisation de …

Bibliographie & annexes

Présentation

RÉSUMÉ

La résolution des équations de Navier-Stokes par différences finies est présentée. Divers concepts sont présentés ainsi que le modèle mathématique régissant le comportement d’un fluide ; des cas particuliers de formulation des équations de Navier-Stokes sont indiqués. On considère deux formulations distinctes pour résoudre le problème cible ; d’une part la formulation courant-vorticité pour calculer un écoulement 2D où on a à résoudre simplement une équation de Poisson couplée à une équation de convection-diffusion. Une autre méthode permet aussi de résoudre les équations cibles formulées en vitesse-pression. Dans les deux cas l’analyse numérique des algorithmes est présentée. La dernière partie présente la résolution des équations de Navier-Stokes en régime turbulent.

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Auteur(s)

Pierre SPITERI : Professeur émérite - Université de Toulouse, INP – ENSEEIHT – IRIT, Toulouse, France

INTRODUCTION

Les équations de Navier-Stokes modélisent de nombreux phénomènes intervenant lors de l’étude d’écoulements. On peut citer entre autres les écoulements intervenant dans les circuits de refroidissement présents dans des chaudières, des réacteurs, l’aérodynamisme externe de véhicules comme les automobiles, les trains, les avions au moment du décollage, l’aérodynamisme interne des moteurs notamment dans les tuyères, les chambres de combustion, l'étude en cardiologie de la propagation du sang dans les veines ainsi que dans une certaine mesure les prévisions météorologiques, celle des courants marins, l’hydrologie, etc.

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MOTS-CLÉS

formulation courant-vorticité équation de convection-diffusion comportement d'un fluide formulation vitesse-pression

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af1404

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Modèle mathématique régissant un fluide compressible ou incompressible

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6. Annexes

6.1 Annexe 1 : expression des équations de Navier-Stokes incompressible en coordonnées cylindriques et sphériques

Expression en coordonnées cylindriques

En coordonnées cylindriques, la position d’un point P est définie par les distances r et z et par l'angle θ (voir figure 12). Les composantes du vecteur vitesse dans ce repère sont désignées par u_r , v_θ , w_z . L’expression des équations de Navier-Stokes incompressibles s’écrivent alors :

${\begin{cases} \frac{1}{r} \frac{\partial ({ru}_{r})}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial v_{θ}}{\partial θ} + \frac{\partial w_{z}}{\partial z} = 0, dans Ω \\ \frac{\partial u_{r}}{\partial t} + u_{r} \frac{\partial u_{r}}{\partial r} + \frac{v_{θ}}{r} \frac{\partial u_{r}}{\partial θ} + w_{z} \frac{\partial u_{r}}{\partial z} - \frac{v_{θ}^{2}}{r} = F_{r} - \frac{1}{ρ} \frac{\partial p}{\partial r} \\ + ν (\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial u_{r}}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} u_{r}}{\partial θ^{2}} + \frac{\partial^{2} u_{r}}{\partial z^{2}} - \frac{u_{r}}{r^{2}} - \frac{2}{r^{2}} \frac{\partial v_{θ}}{\partial θ}), ... \end{cases}$

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