Modèle mathématique régissant un fluide compressible ou incompressible
Résolution numérique des équations de Navier-Stokes par la méthode des différences finies

En fonction du contexte physique des applications étudiées ces écoulements ne sont pas de même nature et avant d’aborder la résolution des équations de Navier-Stokes il est nécessaire de définir un certain nombre de notions couramment utilisées en mécanique des fluides.

Un fluide est un milieu matériel parfaitement déformable lorsqu'il est soumis à une force, c'est-à-dire qu'il a la capacité de prendre la forme du contenant dans lequel il se trouve. On regroupe sous l’appellation de fluide les liquides, les gaz et les plasmas. Gaz et plasmas sont très compressibles, c’est-à-dire qu’on peut, sous l’action d’une pression, changer le volume du fluide ; autrement dit on peut les comprimer dans un espace plus restreint en exerçant une pression sur le fluide. Par contre les liquides sont très peu compressibles, à peine un peu plus que les solides ; on dit qu’ils sont incompressibles, c’est-à-dire qu’on ne peut pas changer leurs volumes occupés en exerçant une pression sur eux ; autrement dit on ne peut pas les comprimer dans un espace plus restreint. C’est donc la compressibilité qui permet de faire la différence entre d’une part un liquide et d’autre part un gaz ou un plasma.

Les particules constitutives d’un gaz sont des molécules ou des atomes isolés, celles d’un plasma sont des ions et celles d’un liquide des atomes, des molécules ou des ions. Dans un gaz les interactions entre particules sont négligeables, sauf lorsqu’elles se rencontrent au moment d’un choc. Les ions d’un plasma ou d’un liquide interagissent au contraire à grande distance.

Les liquides et gaz habituellement étudiés sont isotropes, mobiles et visqueux.

L’isotropie assure que les propriétés du fluide sont identiques dans toutes les directions de l’espace.

La mobilité est due au fait que les fluides n’ont pas de forme propre et qu’ils prennent la forme du récipient les contenant.

La viscosité mesure la résistance qu’oppose un fluide à sa mise en mouvement provoquant par conséquent un changement de forme. La viscosité détermine la vitesse du mouvement du fluide ; par exemple si l’on considère le déplacement d’une cuillère dans un bol contenant un liquide, plus le liquide est visqueux et plus le mouvement de la cuillère est lent. Les liquides ont une viscosité supérieure à celle des gaz car les molécules les constituant...