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RÉSUMÉ
La résolution des équations de Navier-Stokes par différences finies est présentée. Divers concepts sont présentés ainsi que le modèle mathématique régissant le comportement d’un fluide ; des cas particuliers de formulation des équations de Navier-Stokes sont indiqués. On considère deux formulations distinctes pour résoudre le problème cible ; d’une part la formulation courant-vorticité pour calculer un écoulement 2D où on a à résoudre simplement une équation de Poisson couplée à une équation de convection-diffusion. Une autre méthode permet aussi de résoudre les équations cibles formulées en vitesse-pression. Dans les deux cas l’analyse numérique des algorithmes est présentée. La dernière partie présente la résolution des équations de Navier-Stokes en régime turbulent.
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Pierre SPITERI : Professeur émérite - Université de Toulouse, INP – ENSEEIHT – IRIT, Toulouse, France
INTRODUCTION
Les équations de Navier-Stokes modélisent de nombreux phénomènes intervenant lors de l’étude d’écoulements. On peut citer entre autres les écoulements intervenant dans les circuits de refroidissement présents dans des chaudières, des réacteurs, l’aérodynamisme externe de véhicules comme les automobiles, les trains, les avions au moment du décollage, l’aérodynamisme interne des moteurs notamment dans les tuyères, les chambres de combustion, l'étude en cardiologie de la propagation du sang dans les veines ainsi que dans une certaine mesure les prévisions météorologiques, celle des courants marins, l’hydrologie, etc.
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MOTS-CLÉS
formulation courant-vorticité équation de convection-diffusion comportement d'un fluide formulation vitesse-pression
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5. Conclusion
Cet article a permis une présentation succincte de phénomènes physiques intervenant en mécanique des fluides et notamment leurs modélisation par les équations de Navier- Stokes en écoulement laminaire. La résolution de cette dernière équation est particulièrement complexe et seule l’utilisation de la méthode des différences finies n’a été envisagée comme méthode de discrétisation jusqu’à présent. Cette dernière technique est compatible, d’une part, avec la formulation courant-vorticité sur des maillages différences finies classiques et, d’autre part, avec la formulation vitesse-pression sur des maillages différences finies de préférence décalés pour minimiser l’effet des instabilités. Concernant la discrétisation en temps l’étude de la stabilité numérique des schémas temporels a été étudiée dans le cas bidimensionnel (et monodimensionnel en annexe 3 (§ 6.3)) le cas tridimensionnel ne présentant pas de difficulté majeure supplémentaire ; lors de l’utilisation de schémas implicites en temps, on doit résoudre des systèmes linéaires de grande dimension et sur ce sujet un résumé assez complet d’algorithmes efficaces a été présenté. Enfin la quatrième section aborde la résolution des équations de Navier-Stokes dans le cas turbulent ; il suffit alors de moyenner les équations puis de résoudre les équations découlant de ce procédé en utilisant les méthodes présentées dans cet article aux deux sections précédentes.
On trouvera quatre annexes utiles pour l’ingénieur ; les annexes 1 (§ ...
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BIBLIOGRAPHIE
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(4) - CHASSAING (P.) - Turbulence en mécanique des fluides, - collection Polytech de l’INP – Toulouse, Cépadues (2000).
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(5) - COMBEAU (H.), BELLET (M.), FAUTRELLE (Y.) et al - Analysis of a numerical benchmark for columnar solidification of binary alloys, - Modeling of casting, welding and advanced processes (2012).
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(6) - CUVELIER...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
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