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RÉSUMÉ
La résolution des équations de Navier-Stokes par différences finies est présentée. Divers concepts sont présentés ainsi que le modèle mathématique régissant le comportement d’un fluide ; des cas particuliers de formulation des équations de Navier-Stokes sont indiqués. On considère deux formulations distinctes pour résoudre le problème cible ; d’une part la formulation courant-vorticité pour calculer un écoulement 2D où on a à résoudre simplement une équation de Poisson couplée à une équation de convection-diffusion. Une autre méthode permet aussi de résoudre les équations cibles formulées en vitesse-pression. Dans les deux cas l’analyse numérique des algorithmes est présentée. La dernière partie présente la résolution des équations de Navier-Stokes en régime turbulent.
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Pierre SPITERI : Professeur émérite - Université de Toulouse, INP – ENSEEIHT – IRIT, Toulouse, France
INTRODUCTION
Les équations de Navier-Stokes modélisent de nombreux phénomènes intervenant lors de l’étude d’écoulements. On peut citer entre autres les écoulements intervenant dans les circuits de refroidissement présents dans des chaudières, des réacteurs, l’aérodynamisme externe de véhicules comme les automobiles, les trains, les avions au moment du décollage, l’aérodynamisme interne des moteurs notamment dans les tuyères, les chambres de combustion, l'étude en cardiologie de la propagation du sang dans les veines ainsi que dans une certaine mesure les prévisions météorologiques, celle des courants marins, l’hydrologie, etc.
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MOTS-CLÉS
formulation courant-vorticité équation de convection-diffusion comportement d'un fluide formulation vitesse-pression
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3. Résolution des équations de Navier-Stokes formulées en vitesse-pression
3.1 Maillages différences finies décalés et non décalés
On a vu à la section 2 que la formulation courant-vorticité conduit à résoudre numériquement des problèmes aux limites couplés sur des maillages différences finies. Cette mise en œuvre s’effectue classiquement sur des grilles classiques de points utilisées pour l’approximation en différences finies où les inconnues du problème sont déterminées aux nœuds du maillage [AF 500] [AF 501].
Cependant la formulation vitesse-pression des équations de Navier-Stokes conduit à considérer non plus ce type de grilles mais plutôt comme nous le verrons dans cette section des grilles décalées. A priori il paraît naturel...
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BIBLIOGRAPHIE
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(4) - CHASSAING (P.) - Turbulence en mécanique des fluides, - collection Polytech de l’INP – Toulouse, Cépadues (2000).
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(6) - CUVELIER...
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