Surfaces
Courbes et surfaces pour la CFAO

A1440 v1 Article de référence

Surfaces
Courbes et surfaces pour la CFAO

Auteur(s) : Pierre BÉZIER

Date de publication : 10 mai 1992 | Read in English

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Sommaire
Médias

Présentation

1 - Problèmes

1.1 - Combinaisons booléennes
1.2 - Recopie d’une maquette
1.3 - Approximation de points

2 - Conditions à remplir

2.1 - Rapidité
2.2 - Automatisme
2.3 - Accessibilité

3 - Courbes

3.1 - Généralités
3.2 - Représentation de P. de Casteljau
3.3 - Cubiques paramétriques de J. Ferguson

Figure 1 - Courbe cubique Figure 2 - Courbes cubiques
3.4 - Méthode d’Hermite
3.5 - Méthode UNISURF

Figure 4 - Courbe de base Figure 7 - Tracé du rayon de courbure Figure 8 - Courbe AB et son hodographe Figure 11 - Sectionnement de la courbe
3.6 - Splines

4 - Surfaces

4.1 - Généralités
4.2 - Carreaux de J. Ferguson

Figure 15 - Carreau de Ferguson
4.3 - Carreaux de S. Coons

Figure 17 - Interpolantes d’Hermite
4.4 - Surfaces triangulaires
4.5 - Carreaux UNISURF

Figure 23 - Directrices d’une surface Figure 24 - Tracé du vecteur torsion
4.6 - Surfaces splines non rationnelles et rationnelles

5 - Référentiels déformables

5.1 - Généralités
5.2 - Applications

Figure 31 - Treillis régulier

Bibliographie & annexes

Présentation

Auteur(s)

Pierre BÉZIER : Ingénieur de l’École Nationale Supérieure des Arts et Métiers - Ingénieur de l’École Supérieure d’Électricité - Docteur en mathématiques

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INTRODUCTION

Jusqu’à une date récente, les dessins de pièces de mécanique ne donnaient pas une description complète de l’objet qu’ils étaient censés représenter. Les surfaces requérant quelque précision étaient définies par des dimensions assorties de tolérances ; leur géométrie était fondée sur l’emploi de la droite et du cercle ; les dépouilles et les raccordements étaient déterminés de façon plus ou moins vague, et parfois implicite, et leur réalisation était laissée à l’initiative de professionnels hautement qualifiés : modeleurs, fondeurs ou ajusteurs de matrices. Quant aux autres formes gauches, elles étaient représentées par des tracés de diverses sections, et reproduites ensuite par copie de modèles dérivant des tracés par une interpolation laissée aux soins d’opérateurs très expérimentés.

Afin d’utiliser la commande numérique pour diriger des aléseuses, des tours, des fraiseuses, des rectifieuses, des machines d’électroérosion ou de soudure, il devenait indispensable de disposer d’une définition complète et précise de toutes les surfaces à réaliser. Cette question a donné lieu à beaucoup de travaux. On trouvera en références bibliographiques la liste des principaux ouvrages publiés en français ou en anglais ; la liste des articles parus dans les revues spécialisées compterait plusieurs milliers de références.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-a1440

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Référentiels déformables

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4. Surfaces

4.1 Généralités

Parmi les premiers travaux accomplis en France à propos de la CFAO, il faut citer ceux de Jean-Marc Brun et Michel Théron, chercheurs à la faculté d’Orsay vers 1965.

Leur solution était fondée sur la combinaison booléenne de solides définis par des droites et des cercles. Cette méthode se prêtait mal à la description d’objets ayant des formes plus variées, tels par exemple des aéronefs, les coques de bateaux, les aubes de turbines, les carrosseries d’automobiles, etc. On ne cite cette solution que pour mémoire et la suite de la présente étude se limitera à celle des solutions paramétriques.

Les applications industrielles sont différentes selon qu’il faut traiter de la dynamique des fluides, de la mécanique des milieux continus, de l’architecture ou de l’esthétique ; cela suffit pour expliquer la variété des solutions offertes, dont certaines ont même été conçues pour suivre au plus près des pratiques traditionnelles.

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4.2 Carreaux de J. Ferguson

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4.2.1 Principe

La méthode a été exposée par James Ferguson, ingénieur chez Boeing, dans le Journal of the Association for Computing Machinery (JACM) en avril 1964.

Le contour d’un carreau (figure 15) est défini par quatre cubiques paramétriques P (u, 0), P (u, 1), P (0, v ) et P (1, v ).

En chaque coin, on connaît donc les dérivées partielles paramétriques.

Pour compléter la définition, on choisit arbitrairement en chaque coin une dérivée mixte $\frac{\partial^{2} P}{\partial u \partial v}$ . On possède alors les seize conditions qui déterminent les coefficients a de l’expression :

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