Bibliographie & annexes
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RÉSUMÉ
Une « onde solitaire », d’après la définition de John Scott Russel, désigne la propagation d’une onde, sur une longue distance et sans déformation. La théorie linéaire de la propagation d’ondes à la surface de l’eau ne peut expliquer ce phénomène. Cet article décrit tout d’abord un certain nombre de situations expérimentales ayant conduit à l’introduction d’équations non linéaires aux propriétés inhabituelles. Ces familles de solutions mathématiques possèdent des lois de conservation qui expliquent le comportement et la stabilité remarquables des solitons. Est également présentée brièvement la méthode du problème inverse qui permet de résoudre de telles équations et, en particulier, de décrire les solutions solitoniques.
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According to the definition by John Scott Russel, a "solitary wave" refers to the propagation of a wave on a long distance without any deformation. The linear theory of wave propagation at the surface of water cannot explain this phenomenon. This article starts by describing a certain number of experimental situations which have led to the introduction of non-linear equations with unusual properties. These families of mathematical solutions have conservation laws that explain the behavior and remarkable stability of solutions. The inverse problem method which allows for solving such equations and in particular describing solitonic solutions is also presented.
Auteur(s)
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Michel TALON : Chargé de recherches au CNRS
-
Claude-Michel VIALLET : Directeur de recherches au CNRS
INTRODUCTION
Le terme soliton vient de l'observation par John Scott Russell, communiquée à la Royal Society d'Edimbourgh en 1834, de ce qu'il a appelé à l'époque une « onde solitaire » (solitary wave) : une vague s'est formée à la proue d'une barge et a continué sa course pendant plus d'un kilomètre, sans déformation, avec une vitesse relativement importante et constante.
Le phénomène est similaire au mascaret et aux raz de marée. Sa compréhension, et sa description par une équation, s'est faite très progressivement. Nous présenterons autant que possible la modélisation par des équations plutôt que la description superficielle du phénomène. La théorie linéaire de la propagation d'ondes à la surface de l'eau, qui contient des termes dispersifs, n'explique pas la propagation sans déformation de l'onde solitaire. Cette onde devrait s'étaler et disparaître et il a été nécessaire de donner une autre description mathématique.
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Quelques exemples1. Bref historique
Les premiers résultats théoriques visant à décrire le phénomène analytiquement sont dus à Boussinesq . Quelques années après (1895), une équation d'onde permettant la propagation d'ondes solitaires, et pour laquelle des solutions explicites sont connues, a été proposée par D.J. Korteweg et G. de Vries . Cette équation est non linéaire. Nous discuterons en détail dans cet article l'élaboration de cette équation ainsi que ses solutions.
Il y a eu assez peu de progrès sur le sujet jusqu'aux premières expérimentations numériques sur ordinateur, telles celles de E. Fermi, J.R. Pasta et S.M. Ulam portant sur la dynamique de chaînes de particules interagissant de manière non linéaire. L'idée était que l'addition de petits couplages non linéaires dans une modélisation d'un solide par des particules sur un réseau permettrait de comprendre la thermalisation et l'équipartition de l'énergie sur les différents modes au bout d'un temps suffisamment long. Ces travaux, effectués avec l'un des premiers ordinateurs, ont mis en évidence un comportement en contradiction avec l'hypothèse statistique. L'énergie reste localisée dans les modes dominants pendant un temps plus long que prévu. La compréhension de ces phénomènes a mené à l'invention du modèle de Toda (1967), ainsi qu'aux développements des techniques modernes d'étude des systèmes intégrables (mais c'est seulement en 1965 que le terme « soliton » a été proposé par M. Kruskal et N. Zabusky).
La contribution fondamentale, dans le domaine, est due à C.S. Gardner, J.M. Greene, M.D. Kruskal, et R.M. Miura (1967) , qui ont mis à jour une relation inattendue entre l'équation de Korteweg de Vries (nous utiliserons l'abréviation KdV pour la suite) et l'équation de Schrödinger de la Mécanique quantique. Cette méthode, appelée « problème inverse », a permis de trouver la solution générale à plusieurs solitons.
En 1968, P. Lax a découvert une formulation particulièrement utile pour l'étude des systèmes intégrables, dont l'équation de KdV fait partie, en leur associant des systèmes d'équations linéaires. Nous présenterons aussi cette méthode en détail.
En quelques années le sujet a progressé considérablement : C.S. Gardner ainsi que V. Zakharov et L.D. Faddeev ont découvert (1971) la formulation hamiltonienne de KdV, faisant le lien...
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - BOUSSINESQ (J.) - Théorie de l'intumescence liquide appelée onde solitaire ou de translation se propageant dans un canal rectangulaire - C.R.A.S. p. 72-73 (1871).
-
(2) - KORTEWEG (D.J.), DE VRIES (G.) - On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal and on a new type of long stationary waves - Philosophical Magazine, 5th series, 39, p. 422-443 (1895).
-
(3) - FERMI (E.), PASTA (J.), ULAM (S.) - Studies of non linear problems - Doument LA-1940 (1955).
-
(4) - ZABUSKY (N.J.), KRUSKAL (M.D.) - Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states - Physics Rev. Lett. 15, p. 240-243 (1965).
-
(5) - GARDNER (C.S.), GREENE (J.M.), KRUSKAL (M.D.), MIURA (R.M.) - Method for solving the Korteweg-de Vries equation - Physics Rev. Lett. 19, p. 1095-1097 (1967).
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(6) - LAX (P.) - Integrals...
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