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RÉSUMÉ
Une « onde solitaire », d’après la définition de John Scott Russel, désigne la propagation d’une onde, sur une longue distance et sans déformation. La théorie linéaire de la propagation d’ondes à la surface de l’eau ne peut expliquer ce phénomène. Cet article décrit tout d’abord un certain nombre de situations expérimentales ayant conduit à l’introduction d’équations non linéaires aux propriétés inhabituelles. Ces familles de solutions mathématiques possèdent des lois de conservation qui expliquent le comportement et la stabilité remarquables des solitons. Est également présentée brièvement la méthode du problème inverse qui permet de résoudre de telles équations et, en particulier, de décrire les solutions solitoniques.
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Lire l’articleAuteur(s)
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Michel TALON : Chargé de recherches au CNRS
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Claude-Michel VIALLET : Directeur de recherches au CNRS
INTRODUCTION
Le terme soliton vient de l'observation par John Scott Russell, communiquée à la Royal Society d'Edimbourgh en 1834, de ce qu'il a appelé à l'époque une « onde solitaire » (solitary wave) : une vague s'est formée à la proue d'une barge et a continué sa course pendant plus d'un kilomètre, sans déformation, avec une vitesse relativement importante et constante.
Le phénomène est similaire au mascaret et aux raz de marée. Sa compréhension, et sa description par une équation, s'est faite très progressivement. Nous présenterons autant que possible la modélisation par des équations plutôt que la description superficielle du phénomène. La théorie linéaire de la propagation d'ondes à la surface de l'eau, qui contient des termes dispersifs, n'explique pas la propagation sans déformation de l'onde solitaire. Cette onde devrait s'étaler et disparaître et il a été nécessaire de donner une autre description mathématique.
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2. Quelques exemples
2.1 Ondes de surface et équation de Korteweg-deVries
Nous allons décrire la propagation des ondes à la surface libre d'un fluide. Le propos de ce paragraphe est d'illustrer comment des équations (aux dérivées partielles) de types différents permettent d'expliquer diverses évolutions. Deux ingrédients de base seront présents : la non-linéarité et l'existence de dispersion. Le but est d'aboutir à l'équation de Korteweg-deVries .
Pour des raisons de simplicité, nous supposerons que l'onde se propage dans un canal, et donc le profil peut être décrit avec deux variables : une abscisse x, le long de laquelle l'onde se propage, et une ordonnée y, qui est la coordonnée verticale (figure 1).
Si une quantité ƒ dépend de x, y et t, les dérivées partielles sont notées :
et, de même, les dérivées d'ordre supérieur sont notées ƒxx, ƒxxx, etc., s'il n'y a pas d'ambiguïté.
Nous admettons que le mouvement du fluide est irrotationnel. On peut donc écrire le champ des vecteurs vitesses
comme le gradient d'un potentiel ϕ. On suppose aussi que le fluide est incompressible. Le potentiel ϕ est donc harmonique, c'est-à-dire Δ ϕ = 0, Δ étant le laplacien.
2.1.1 Approximation linéaire avec dispersion
L'équation fondamentale de la dynamique
appliquée à un petit volume de fluide s'intègre en :
avec :
- ...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BOUSSINESQ (J.) - Théorie de l'intumescence liquide appelée onde solitaire ou de translation se propageant dans un canal rectangulaire - C.R.A.S. p. 72-73 (1871).
-
(2) - KORTEWEG (D.J.), DE VRIES (G.) - On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal and on a new type of long stationary waves - Philosophical Magazine, 5th series, 39, p. 422-443 (1895).
-
(3) - FERMI (E.), PASTA (J.), ULAM (S.) - Studies of non linear problems - Doument LA-1940 (1955).
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(4) - ZABUSKY (N.J.), KRUSKAL (M.D.) - Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states - Physics Rev. Lett. 15, p. 240-243 (1965).
-
(5) - GARDNER (C.S.), GREENE (J.M.), KRUSKAL (M.D.), MIURA (R.M.) - Method for solving the Korteweg-de Vries equation - Physics Rev. Lett. 19, p. 1095-1097 (1967).
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(6) - LAX (P.) - Integrals...
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Gaz ionisés et plasmas
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