Présentation
RÉSUMÉ
Une « onde solitaire », d’après la définition de John Scott Russel, désigne la propagation d’une onde, sur une longue distance et sans déformation. La théorie linéaire de la propagation d’ondes à la surface de l’eau ne peut expliquer ce phénomène. Cet article décrit tout d’abord un certain nombre de situations expérimentales ayant conduit à l’introduction d’équations non linéaires aux propriétés inhabituelles. Ces familles de solutions mathématiques possèdent des lois de conservation qui expliquent le comportement et la stabilité remarquables des solitons. Est également présentée brièvement la méthode du problème inverse qui permet de résoudre de telles équations et, en particulier, de décrire les solutions solitoniques.
Lire cet article issu d'une ressource documentaire complète, actualisée et validée par des comités scientifiques.
Lire l’articleAuteur(s)
-
Michel TALON : Chargé de recherches au CNRS
-
Claude-Michel VIALLET : Directeur de recherches au CNRS
INTRODUCTION
Le terme soliton vient de l'observation par John Scott Russell, communiquée à la Royal Society d'Edimbourgh en 1834, de ce qu'il a appelé à l'époque une « onde solitaire » (solitary wave) : une vague s'est formée à la proue d'une barge et a continué sa course pendant plus d'un kilomètre, sans déformation, avec une vitesse relativement importante et constante.
Le phénomène est similaire au mascaret et aux raz de marée. Sa compréhension, et sa description par une équation, s'est faite très progressivement. Nous présenterons autant que possible la modélisation par des équations plutôt que la description superficielle du phénomène. La théorie linéaire de la propagation d'ondes à la surface de l'eau, qui contient des termes dispersifs, n'explique pas la propagation sans déformation de l'onde solitaire. Cette onde devrait s'étaler et disparaître et il a été nécessaire de donner une autre description mathématique.
Cet article est réservé aux abonnés.
Il vous reste 92 % à découvrir.
Déjà abonné ? Se connecter
DOI (Digital Object Identifier)
Présentation
Bref historiqueArticle inclus dans l'offre
"Mathématiques"
(170 articles)
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques.
Quiz, médias, tableaux, formules, vidéos, etc.
Opérationnels et didactiques, pour garantir l'acquisition des compétences transverses.
Un ensemble de services exclusifs en complément des ressources.
5. Conclusion
Nous avons décrit un certain nombre de situations expérimentales ayant conduit à l’introduction d’équations non linéaires ayant des propriétés inhabituelles : elles possèdent des lois de conservation qui expliquent le comportement et la stabilité remarquables des solitons. Ces propriétés sont intimement liées à la structure non linéaire des équations. Nous avons décrit les principales familles d’équations utilisées dans les applications : Korteweg-de Vries, Schrödinger non linéaire, Sine-Gordon et Toda. Nous avons vu que, dans chaque cas, il existe une formulation à l’aide de paire de Lax qui permet de comprendre l’intégrabilité et de calculer les quantités conservées. Nous avons vu aussi que chaque famille d’équations appartient à toute une hiérarchie de systèmes intégrables. Nous avons également présenté brièvement la méthode du problème inverse qui permet de résoudre de telles équations et, en particulier, de décrire les solutions solitoniques. Le prolongement naturel de ces résultats est l’étude des perturbations des systèmes intégrables permettant de comprendre comment des conditions initiales arbitraires peuvent se transformer en un train de solitons. Une approche efficace de ce problème est la théorie des équations de Whitham pour laquelle nous référons à son livre .
Cet article est réservé aux abonnés.
Il vous reste 93 % à découvrir.
Déjà abonné ? Se connecter
Conclusion
Article inclus dans l'offre
"Mathématiques"
(170 articles)
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques.
Quiz, médias, tableaux, formules, vidéos, etc.
Opérationnels et didactiques, pour garantir l'acquisition des compétences transverses.
Un ensemble de services exclusifs en complément des ressources.
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BOUSSINESQ (J.) - Théorie de l'intumescence liquide appelée onde solitaire ou de translation se propageant dans un canal rectangulaire - C.R.A.S. p. 72-73 (1871).
-
(2) - KORTEWEG (D.J.), DE VRIES (G.) - On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal and on a new type of long stationary waves - Philosophical Magazine, 5th series, 39, p. 422-443 (1895).
-
(3) - FERMI (E.), PASTA (J.), ULAM (S.) - Studies of non linear problems - Doument LA-1940 (1955).
-
(4) - ZABUSKY (N.J.), KRUSKAL (M.D.) - Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states - Physics Rev. Lett. 15, p. 240-243 (1965).
-
(5) - GARDNER (C.S.), GREENE (J.M.), KRUSKAL (M.D.), MIURA (R.M.) - Method for solving the Korteweg-de Vries equation - Physics Rev. Lett. 19, p. 1095-1097 (1967).
-
(6) - LAX (P.) - Integrals...
DANS NOS BASES DOCUMENTAIRES
-
*
-
Mécanique des fluides
-
Gaz ionisés et plasmas
Cet article est réservé aux abonnés.
Il vous reste 95 % à découvrir.
Déjà abonné ? Se connecter
Article inclus dans l'offre
"Mathématiques"
(170 articles)
Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques.
Quiz, médias, tableaux, formules, vidéos, etc.
Opérationnels et didactiques, pour garantir l'acquisition des compétences transverses.
Un ensemble de services exclusifs en complément des ressources.
