Article

1 - GÉNÉRALITÉS SUR LES CORPS

  • 1.1 - Définition des corps et des sous-corps
  • 1.2 - Règles de calcul dans un corps
  • 1.3 - Corps totalement ordonné

2 - DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS DU CORPS DES NOMBRES RÉELS

  • 2.1 - Insuffisance du corps des nombres rationnels
  • 2.2 - Propriétés du corps des nombres réels
  • 2.3 - Approximation des nombres réels par les nombres rationnels
  • 2.4 - Approximation d’un nombre réel par ses valeurs décimales approchées
  • 2.5 - Approximation d’un nombre réel par des fractions continuées
  • 2.6 - Quelques exemples de nombres réels irrationnels, algébriques, transcendants

3 - ANNEXE : PRINCIPE DE LA CONSTRUCTION DE DU CORPS DES NOMBRES RÉELS

Article de référence | Réf : AF35 v1

Corps des nombres réels

Auteur(s) : Gérard DEBEAUMARCHÉ

Date de publication : 10 avr. 2001

Pour explorer cet article
Télécharger l'extrait gratuit

Vous êtes déjà abonné ?Connectez-vous !

Sommaire

Présentation

Version en anglais English

Auteur(s)

  • Gérard DEBEAUMARCHÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Cachan - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Clemenceau de Reims

Lire cet article issu d'une ressource documentaire complète, actualisée et validée par des comités scientifiques.

Lire l’article

INTRODUCTION

On présente dans cet article les principales propriétés du corps des nombres réels. Celles-ci sont en effet fondamentales pour toute l'étude de l'analyse réelle ou complexe.

On commence, d’abord, par définir la notion de corps, supposé ici commutatif, en rappelant les principales règles de calcul communes à tous les corps, avec notamment la formule donnant la somme des n + 1 premiers termes d'une série géométrique ou la formule du binôme de Newton qui sont essentielles à connaître.

On introduit, ensuite, le concept d'ensemble ordonné, en insistant sur les notions de bornes supérieure et inférieure qu'il convient de bien maîtriser dans le cas de , et on donne la définition d'un corps totalement ordonné en introduisant au passage la notion de valeur absolue.

Après avoir montré certaines insuffisances du corps des nombres rationnels, on définit le corps des nombres réels comme étant le corps totalement ordonné vérifiant les axiomes équivalents de la borne supérieure et de la borne inférieure. Mais la construction de – dont le principe remonte à 1872, que ce soit par la méthode des coupures de Dedekind ou par la méthode de Cantor de passage au quotient de l'anneau des suites de Cauchy de nombres rationnels – a été renvoyée en annexe vu son caractère technique et son intérêt somme toute assez modeste pour l’utilisation théorique et pratique des nombres réels. On établit alors les principales propriétés de , notamment l'existence des racines carrées (et plus généralement des racines nièmes pour les nombres positifs) en rappelant au passage le principe de résolution des équations du second degré et l’inégalité de Cauchy-Schwarz, puis la convergence dans des suites mono-tones bornées et des suites de Cauchy de nombres réels.

L’exposé s’achève par l'approximation des nombres réels par les nombres rationnels ; on développe l’approximation des réels :

  • d'une part, par les suites de leurs valeurs décimales approchées à 10 –n près, ce qui est important pour l’utilisation pratique des nombres réels ;

  • d'autre part, par la suite de leurs fractions continuées (ou fractions continues) qui constituent, en un sens qui sera précisé, les meilleures approximations des nombres réels par les nombres rationnels.

On établit enfin à titre d’exemple l’irrationalité des nombres e et π, en indiquant (mais sans démonstration) leur caractère transcendant.

Cet article est réservé aux abonnés.
Il vous reste 92% à découvrir.

Pour explorer cet article
Téléchargez l'extrait gratuit

Vous êtes déjà abonné ?Connectez-vous !


L'expertise technique et scientifique de référence

La plus importante ressource documentaire technique et scientifique en langue française, avec + de 1 200 auteurs et 100 conseillers scientifiques.
+ de 10 000 articles et 1 000 fiches pratiques opérationnelles, + de 800 articles nouveaux ou mis à jours chaque année.
De la conception au prototypage, jusqu'à l'industrialisation, la référence pour sécuriser le développement de vos projets industriels.

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af35


Cet article fait partie de l’offre

Mathématiques

(166 articles en ce moment)

Cette offre vous donne accès à :

Une base complète d’articles

Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques

Des services

Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources

Un Parcours Pratique

Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses

Doc & Quiz

Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive

ABONNEZ-VOUS

Lecture en cours
Présentation
Version en anglais English

Cet article est réservé aux abonnés.
Il vous reste 92% à découvrir.

Pour explorer cet article
Téléchargez l'extrait gratuit

Vous êtes déjà abonné ?Connectez-vous !


L'expertise technique et scientifique de référence

La plus importante ressource documentaire technique et scientifique en langue française, avec + de 1 200 auteurs et 100 conseillers scientifiques.
+ de 10 000 articles et 1 000 fiches pratiques opérationnelles, + de 800 articles nouveaux ou mis à jours chaque année.
De la conception au prototypage, jusqu'à l'industrialisation, la référence pour sécuriser le développement de vos projets industriels.

Cet article fait partie de l’offre

Mathématiques

(166 articles en ce moment)

Cette offre vous donne accès à :

Une base complète d’articles

Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques

Des services

Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources

Un Parcours Pratique

Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses

Doc & Quiz

Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive

ABONNEZ-VOUS

Sommaire
Sommaire

Cet article est réservé aux abonnés.
Il vous reste 92% à découvrir.

Pour explorer cet article
Téléchargez l'extrait gratuit

Vous êtes déjà abonné ?Connectez-vous !


L'expertise technique et scientifique de référence

La plus importante ressource documentaire technique et scientifique en langue française, avec + de 1 200 auteurs et 100 conseillers scientifiques.
+ de 10 000 articles et 1 000 fiches pratiques opérationnelles, + de 800 articles nouveaux ou mis à jours chaque année.
De la conception au prototypage, jusqu'à l'industrialisation, la référence pour sécuriser le développement de vos projets industriels.

Cet article fait partie de l’offre

Mathématiques

(166 articles en ce moment)

Cette offre vous donne accès à :

Une base complète d’articles

Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques

Des services

Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources

Un Parcours Pratique

Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses

Doc & Quiz

Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive

ABONNEZ-VOUS