Équations différentielles linéaires à coefficients constants
Équations différentielles linéaires

AF103 v1 Article de référence

Équations différentielles linéaires à coefficients constants
Équations différentielles linéaires

Auteur(s) : Bernard RANDÉ

Date de publication : 10 oct. 2001 | Read in English

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Sommaire
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Présentation

1 - Résultats généraux

1.1 - Position du problème
1.2 - Description de l’ensemble des solutions
1.3 - Résolvante
1.4 - Équations différentielles dans un espace de dimension finie
1.5 - Cas des équations scalaires d’ordre n

2 - Équations différentielles linéaires à coefficients constants

2.1 - Position du problème
2.2 - Cas des équations scalaires d’ordre n

3 - Équations différentielles linéaires scalaires d’ordre 1

3.1 - Résolution
3.2 - Comportement des solutions

4 - Équations différentielles linéaires scalaires d’ordre 2

4.1 - Généralités
4.2 - Équations y ’’ + py = 0 avec p < 0
4.3 - Points d’annulation

5 - Problème de Sturm-Liouville

5.1 - Généralités
5.2 - Fonction de Green
5.3 - Décomposition spectrale
5.4 - Résolution complète du problème de Sturm-Liouville
5.5 - Exemple

Présentation

Auteur(s)

Bernard RANDÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud - Docteur en mathématiques - Agrégé de mathématiques - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis

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INTRODUCTION

Parmi les équations différentielles en général, les équations différentielles linéaires jouissent d’un statut particulier. Cela est dû à leur relative simplicité d’étude, ainsi qu’à leur fréquence d’apparition dans la modélisation. En outre, les procédés numériques qui permettent d’en obtenir des solutions approchées sont robustes, et ne sont pas soumis aux fluctuations imprévisibles qui sont inhérentes aux phénomènes non linéaires.

Le cadre naturel de la modélisation étant habituellement l’espace de dimension 3, les phénomènes fonction des coordonnées spatiales relèvent plus souvent des équations aux dérivées partielles. C’est pourquoi les équations différentielles décrivent de préférence des évolutions temporelles, dans lesquelles la variable scalaire est le temps.

Une littérature très riche a été élaborée sur ce sujet, notamment durant le XIX^e siècle. Cet article, sans aborder les points les plus techniques soulevés par les fonctions spéciales, se contente d’évoquer les aspects les plus élémentaires de la théorie.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af103

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Équations différentielles linéaires scalaires d’ordre 1

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2. Équations différentielles linéaires à coefficients constants

2.1 Position du problème

Considérons l’équation différentielle :

(E) X^{'} = a \cdot X + b

où $a \in L_{c} (E)$ .

Ici, a ne dépend pas de la variable t , ce qui revient à dire que $t Œ a (t)$ est une application constante. On ne fait en revanche aucune hypothèse sur b, si ce n’est que $b \in C^{0} (I, E)$ .

Définition 4. Une équation $(E)$ , où a est constante, est dite linéaire à coefficients constants.

Nous allons voir qu’une telle équation se résout explicitement par quadratures, ce qui lui confère un statut très particulier dans le cadre général des équations différentielles linéaires.