Distributions - Opérations et dérivées

De très nombreux phénomènes physiques, chimiques, biologiques et même économiques peuvent être modélisés par des équations différentielles ou par des équations aux dérivées partielles. La solution d’une équation différentielle est une fonction n fois continûment différentiable. Cependant, il est apparu au début du XX^e siècle que ces contraintes de différentiabilité étaient trop restrictives et que – pour certains phénomènes – il pouvait être intéressant d’y introduire, comme solution, des fonctions discontinues. Dans les années 1930, Jean Leray introduisait la notion de solution faible pour les équations de l’hydrodynamique (solutions turbulentes des équations de Navier-Stokes). Peu après, Leonid Sobolev utilisait celle-ci pour les besoins de la théorie du potentiel. S’appuyant sur ces travaux et cherchant à leur donner un cadre cohérent, Laurent Schwartz a élaboré (1945-1950) une théorie générale et rigoureuse qui est la « théorie des distributions ».

Parallèlement, depuis la fin du XIX^e siècle, le calcul symbolique d’Heaviside avait un réel succès parmi les ingénieurs car, bien que défiant souvent les règles mathématiques en usage, il avait le mérite de mener à des résultats exacts.

Puis Dirac, en 1926, introduisait sa célèbre fonction $\{\begin{array}{cc}\xi \left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\frac{1}{1-x^2}}& \mathrm{si}\mathrm{\hspace{0.17em}}\left|x\right|<1\\ \xi \left(x\right)=0& \mathrm{si}\mathrm{\hspace{0.17em}}\left|x\right|\ge 1\end{array}$ nulle en dehors de l’origine, valant + ∞ à l’origine et d’intégrale égale à 1, pour modéliser une impulsion unité à l’instant t = 0 et d’effet nul en dehors de t = 0. Encore plus difficile à admettre pour le mathématicien, cette fonction δ était aussi introduite comme dérivée de la fonction H d’Heaviside, à savoir la fonction qui vaut 1 pour x > 0 et 0 pour x < 0, fonction qui n’est justement pas dérivable en 0 ! La fonction de Dirac était utilisée dans des calculs d’intégration par parties, elle était dérivée (on parlait de δ ′), on lui attribuait une transformée de Fourier valant 1, on manipulait des produits de convolutions.

Là encore, ces différentes opérations prennent tout leur sens dans le cadre de la théorie des distributions.

Nous présentons dans cette étude toute la « boîte à outils » que constitue cette théorie. Mais avant de parvenir à l’aspect purement opératoire, l’introduction des principaux objets exige de travailler dans des espaces fonctionnels, parfois peu familiers au non-mathématicien. Somme toute, travailler dans des espaces fonctionnels est inévitable lorsque l’on cherche à résoudre des équations aux dérivées partielles !

Ce premier article présente les principales opérations sur les distributions et aborde la notion fondamentale de dérivée d’une distribution.

Un second article traitera plus particulièrement le produit de convolution des distributions et leur transformée de Fourier.

Nous avons réduit au maximum l’utilisation des propriétés fines de topologie. Néanmoins nous sommes conscients du fait – pour la pratiquer avec des élèves ingénieurs – que cette présentation reste un peu aride. C’est le passage obligé pour bien comprendre ces notions et pouvoir ensuite les manipuler intelligemment. Une fois cet effort fait, on a à sa disposition des outils d’une extrême simplicité d’utilisation et qui permettent d’obtenir la forme générale d’équations aux dérivées partielles complexes.

Nous traiterons plusieurs exemples au cours de cet article. Un autre article, traitant uniquement des applications (résolution des équations aux dérivées partielles – espace de Sobolev – application en théorie du signal) complètera l’exposé de cette théorie.