Équations différentielles stochastiques

Les équations différentielles servent à décrire des phénomènes physiques très variés. Cependant, dans de nombreuses situations les phénomènes observés ne suivent que grossièrement les trajectoires des équations qui semblent devoir leur correspondre. Les causes possibles d'un tel comportement peuvent être variées : erreur de modélisation, fluctuation au cours du temps des paramètres de l'équation, présence de bruit d'observation… Dans ces situations, les approches probabilistes trouvent naturellement leur place, et il peut alors être intéressant d'incorporer des termes aléatoires dans les équations différentielles afin de prendre en compte les incertitudes précédentes. Cependant, l'introduction de ces termes aléatoires conduit à une intégration des équations qui ne correspond pas, en général, à une adaptation immédiate de la théorie classique des équations différentielles.

Un premier objectif de cet article est d'introduire le calcul d'Itô qui permet d'aborder les équations différentielles stochastiques. On commencera pour cela par quelques rappels et compléments de théorie des probabilités (section 1). Après avoir présenté quelques résultats importants relatifs au calcul d'Itô, on verra (section 2) comment il peut être mis en œuvre pour la résolution des équations différentielles stochastiques (EDS, section 3). Comme pour les équations différentielles classiques, on ne sait pas en général intégrer de manière exacte les EDS. Aussi, on présentera quelques techniques permettant d'obtenir des approximations numériques des trajectoires des EDS (section 4). Dans de nombreux problèmes, les paramètres de l'EDS ne sont pas connus a priori et il importe pour l'utilisateur de les estimer à partir de la donnée du modèle paramétrique et de la réalisation d'une ou plusieurs trajectoires de l'EDS. On présentera une démarche générale pour traiter ce genre de situation (section 5). On verra également comment des approches non paramétriques peuvent être utilisées dans le cas où l'on ne dispose pas de modèle paramétrique a priori pour estimer les coefficients de l'EDS. On présente également une introduction aux processus de Lévy qui permettent d'étendre l'étude des EDS au cas où l'entrée du modèle présente des discontinuités (section 6).

Si cet article ne fournit qu'un exposé succinct des sujets précédents, plus largement développés dans de nombreux articles et ouvrages spécialisés, on a cependant cherché à travers la variété de ces sujets et les exemples proposés à ce que le lecteur en comprenne la philosophie générale et acquière une capacité pratique de modélisation et de résolution pour divers problèmes d'ingénierie qu'il pourrait rencontrer et pour lesquels l'emploi des EDS peut s'avérer utile. L'exposé pourra notamment être complété par la lecture des principales références sur lesquelles il s'appuie, notamment sur le livre de de Bernt Øksendal intitulé Sochastic differential équations  qui constitue une bonne introduction aux EDS, sur les références  et  respectivement pour ce qui concerne plus particulièrement la résolution numérique des EDS et l'estimation de leurs paramètres. D'autres références sont également fournies dans la bibliographie. Pour les processus de Lévy, on pourra consulter .