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1 - DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS

2 - DÉCOMPOSITIONS TENSORIELLES EXACTES

  • 2.1 - 2.1 Rang tensoriel, décomposition canonique polyadique (CP)
  • 2.2 - Lien avec les polynômes multivariés
  • 2.3 - Rang multilinéaire (Tucker, MLSVD)
  • 2.4 - Autres rangs (non négatif, symétrique, orthogonal)
  • 2.5 - Trains tensoriels

3 - DÉCOMPOSITIONS TENSORIELLES APPROCHÉES

  • 3.1 - Diagonalisation orthogonale approximative
  • 3.2 - Approximation de faible rang multilinéaire
  • 3.3 - Approximation de rang 1
  • 3.4 - Rang frontière
  • 3.5 - Approximation de faible rang sous contrainte

4 - APPLICATIONS

5 - CONCLUSION

6 - ANNEXE

  • 6.1 - Notations supplémentaires
  • 6.2 - Démonstration de la propriété 5 et de (12)
  • 6.3 - Démonstration de la propriété 10 et de (23)

7 - GLOSSAIRE

Article de référence | Réf : AF114 v1

Annexe
Tenseurs en sciences des données

Auteur(s) : Pierre COMON

Date de publication : 10 nov. 2021

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RÉSUMÉ

Le principal argument souvent avancé en physique pour utiliser les tenseurs est leur définition intrinsèque permettant l’invariance de leurs propriétés vis-à-vis du système de coordonnées. Dans cet article, un autre intérêt des tenseurs est mis en avant, à savoir l’unicité de leur décomposition en somme de tenseurs simples. Cette unicité permet d’identifier ces tenseurs simples à des grandeurs ayant un sens physique. Cette propriété unique, décrite en détail dans cet article, a inspiré de nombreux travaux ces dernières années dans des domaines applicatifs très variés, notamment en science des données, dont il est donné un aperçu.

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ABSTRACT

Tensors in Data Sciences

The main argument often put forward in physics to use tensors is their intrinsic definition allowing the invariance of their properties with respect to the coordinate system. In this paper, another interest of tensors is put forward, namely the uniqueness of their decomposition into a sum of simple tensors. This uniqueness allows to identify these simple tensors to quantities having a physical meaning. This unique property, described in detail in this article, has inspired numerous works in recent years in a wide variety of application domains, particularly in data science, which is outlined here.

Auteur(s)

  • Pierre COMON : Directeur de recherche Université Grenoble Alpes, CNRS, Grenoble INP, Gipsa-Lab, Grenoble, France

INTRODUCTION

Les tenseurs sont des objets utilisés depuis longtemps en physique, car ils jouissent de propriétés d’invariance vis-à-vis des systèmes de coordonnées utilisés. Ils apparaissent aussi lorsque l’on veut évaluer la complexité arithmétique de certains problèmes. Enfin, on les rencontre en statistiques, avec les moments et les cumulants de variables aléatoires multivariées. Mais plus récemment, les tenseurs ont fait leur entrée dans d’autres secteurs du monde de l’ingénieur, tels que les télécommunications, l’ingénierie biomédicale, la chimiométrie, le traitement du signal, et bien d’autres. Pourtant ce n’est pas l’indépendance du système de coordonnées dans leur définition qui a permis aux tenseurs de revenir au cœur des outils algébriques utilisés par les ingénieurs. Alors que s’est-il passé ?

Une des propriétés fondamentales des tenseurs est qu’ils peuvent se décomposer de manière unique en une somme de tenseurs plus simples, sous des hypothèses assez faibles. Et dans bien des situations, ces termes plus simples revêtent une signification physique intéressante. C’est cette propriété d’unicité qui leur a valu ce regain d’intérêt depuis une douzaine d’années. Nous décrivons cette propriété fondamentale dans la section 2. Toutefois, en présence d’erreurs de mesure (e.g. bruit), le tenseur mesuré n’a pas le rang escompté de sorte qu’il faudrait calculer la meilleure approximation de rang faible. Or cette approximation n’existe pas toujours comme nous le montrons dans la section 3, ce qui complique l’implantation des algorithmes. Enfin plusieurs applications phares sont décrites dans la section 4.

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KEYWORDS

tensor rank   |   blind source separation   |   canonical polyadic decomposition (CP)   |   MLSVD   |   antenna array processing

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af114


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6. Annexe

Les petites démonstrations que nous incluons dans cette section ne sont pas disponibles dans la littérature, sans doute à cause de leur caractère évident. Toutefois il semble utile de les inclure dans un article de synthèse qui se veut accessible, au moins à titre illustratif. Il convient d’introduire des notations supplémentaires pour que les démonstrations restent concises et lisibles. En revanche, ces notations ne sont pas indispensables pour comprendre le reste de l’article.

6.1 Notations supplémentaires

  • Étant donné un vecteur u de taille K, on note Diag{u} la matrice diagonale K × K comprenant les éléments de u sur sa diagonale.

    À toute matrice M de dimension K × R, on peut associer le vecteur v = vec{M} de dimension KR défini en empilant les colonnes de M les unes en dessous des autres ; autrement dit vi +( r− 1) K Mir. Un tel opérateur peut aussi être défini pour des tableaux à plus de 2 indices. Par exemple pour un tenseur d’ordre 3 et de dimensions I × J × K, on définirait :

    Exemple 21 : vectorisation d’un tenseur

    Soit u le vecteur de dimension 8 défini par υπ π, 1 ≤ π ≤ 8. Alors nous avons :

    Le produit de Kronecker entre deux matrices A et B, de taille I × J et K × L respectivement, est la matrice de taille IK × JL défine par l’empilage de blocs suivant :

    La première matrice dépliante T (1) d’un tenseur d’ordre trois, ...

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - HACKBUSCH (W.) -   Tensor Spaces and Numerical Tensor Calculus.  -  Series in Computational Mathematics. Berlin, Heidelberg: Springer (2012). ISBN: 978-3-642-28026-9.

  • (2) - RUIZ-TOLOSA (J.R., CASTILLO (E.) -   From Vectors to Tensors.  -  Universitext. Berlin, Heidelberg : Springer (2005).

  • (3) - LANDSBERG (J.M.) -   Tensors : Geometry and Applications.  -  T. 128. Graduate Studies in Mathematics. AMS publ., p. 439 (2012).

  • (4) - SHITOV (Y.) -   A counterexample to Comon’s conjecture.  -  In: SIAM Journal on Applied Algebra and Geometry 2.3 (2018), p. 428–443.

  • (5) - COMON (P.) et al -   Symmetric Tensors and Symmetric Tensor Rank.  -  In: SIAM Journal on Matrix Analysis Appl. 30.3. hal-00327599, p. 1254–1279, sept. 2008.

  • (6) - COMON (P., JUTTEN...

1 Logiciels

H. BECKER et al. – Brain source IMaging Algorithms (BIMA). Logiciel de localisation de sources cérébrales distribués, IDDN. FR.001.200011.000. S.P.2016.000.31230. Mai 2016.

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2 Brevets

P. Comon. Method and device for blind equalization of a communication channel. Patent no 9806709, registered for Eurecom Institute. Mai 1998.

L. ALBERA et al. Procédé d’identification et de séparation autodidacte de mélanges de sources aux ordres supérieurs – Method for High-Order Blind Identification of Mixtures of Sources. patent registered for Thales Communications, FR 03.04041. US extension US2004-0260522A1, Dec. 23, 2004. Avr. 2003.

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3 Sites Internet

N-way toolbox :

http://www.models.kvl.dk/algorithms

Tensor Toolbox :

https://www.kolda.net

Tensor package :

http://www.gipsa-lab.grenoble-inp.fr/~pierre.comon

Three-mode company :

http://three-mode.leidenuniv.nl/

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