Bibliographie & annexes
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Auteur(s)
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Pierre SPITERI : Docteur ès sciences mathématiques - Professeur à l’École nationale supérieure d’électronique, d’électrotechnique, d’informatique, d’hydraulique et de télécommunication de Toulouse
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On a vu dans l’article Méthode des différences finies pour les EDP stationnaires que la discrétisation d’équations aux dérivées partielles stationnaires conduisait à la résolution de systèmes linéaires de grande dimension dont la matrice est creuse. De même, la discrétisation d’équations aux dérivées partielles d’évolution par des schémas implicites (article Méthode des différences finies pour les EDP d’évolution) conduit également à la résolution de systèmes linéaires ayant les mêmes caractéristiques. Compte tenu de cette spécificité, l’inversion des matrices issues de la discrétisation d’équations aux dérivées partielles devient de plus en plus préoccupante dans le domaine de la simulation numérique et est, par conséquent, très délicate, compte tenu, en particulier, du mauvais conditionnement de ces matrices. Cet aspect dépend fortement des applications traitées et il est hors de question de donner une réponse universelle à ce problème. C’est pourquoi, dans cet article, nous allons passer en revue différentes méthodes de résolution de tels systèmes, pour essayer de dégager les algorithmes les plus performants.
Dans le cas de la résolution numérique d’une équation aux dérivées partielles non linéaire, on doit résoudre un système algébrique non linéaire ; la résolution d’un tel système s’effectuera par une méthode itérative de type méthode de Newton , ce qui nécessitera, à chaque itération, une linéarisation de l’application considérée autour du point courant et la résolution d’un système linéaire ; l’étude de la convergence de ce type de méthode est loin d’être triviale et les résultats théoriques garantissant la convergence de la méthode sont établis uniquement dans des situations particulières. Si l’équation aux dérivées partielles est linéaire, on aura à résoudre un système linéaire ce qui, en théorie, paraît plus simple ; cependant il subsiste des difficultés d’ordre numérique pour déterminer la solution approchée. Dans cet exposé, nous nous limiterons au cas linéaire.
On rappelle que l’étude concernant la méthode des différences finies pour résoudre des équations aux dérivées partielles se décompose en trois articles :
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Méthode des différences finies pour les EDP stationnairesMéthode des différences finies pour les EDP stationnaires ;
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Méthode des différences finies pour les EDP d’évolutionMéthode des différences finies pour les EDP d’évolution ;
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— [AF 502] Algorithmes numériques pour la résolution des grands systèmes.
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Méthodes directes1. Position du problème
Avant d’exposer les grandes lignes des méthodes de résolution des systèmes linéaires, considérons un exemple issu d’applications industrielles, qui va nous permettre de comprendre la difficulté de résolution de tels systèmes.
considérons l’analyse des flux aérodynamiques autour d’un avion en mouvement ; le problème revient à déterminer en chaque point du milieu et à chaque instant, la valeur de paramètres comme la température, la pression, etc. Le phénomène étudié peut être modélisé par les équations de Navier-Stokes qui expriment la conservation de la masse, du moment et de l’énergie ; en coordonnées cartésiennes, et dans leurs formes complètes, ces équations comprennent plus de soixante dérivées partielles. La résolution numérique de ces équations s’avère nécessaire dans la mesure où une résolution analytique est problématique. La prise en compte des équations de Navier-Stokes dans leur totalité conduirait à des maillages comprenant de 1012 à 1015 points. Si l’on considère un problème simplifié décrit sur un maillage comprenant 107 points, avec 20 valeurs attachées à chaque point (paramètres du problème, éléments de géométrie, résultats intermédiaires, etc.), le modèle discret considéré comporte 2 × 108 données ; suivant le type de problème, le volume de calculs peut atteindre voire dépasser 1013 opérations arithmétiques. Pour un ordinateur capable d’exécuter 107 opérations arithmétiques par seconde, le temps de calcul est de l’ordre de 1013 / 107 secondes, soit environ 278 heures ou encore près de 12 jours.
Sauf cas particulier (cf. paragraphe 5, méthode multigrille), pour simplifier les notations nous noterons...
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Position du problème
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - BARANGER (J.) - Analyse numérique. - Hermann (1991).
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(2) - MEURANT (G.) - Computer solution of large linear systems. - North Holland (1999).
-
(3) - LASCAUX (P.), THEODOR (R.) - Analyse numérique matricielle appliquée à l’art de l’ingénieur. - Tomes 1 et 2, Masson (1986).
-
(4) - McCORMICK (S.) - Multigrid methods. - SIAM (1987).
-
(5) - HACKBUSCH (W.) - Multigrid methods and applications. - Computational Mathematics, Springer-Verlag (1980).
-
(6) - SAAD (Y.) - Iterative methods for sparse linear systems. - PWS Publishing Company (1996).
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(7) - AXELSON...
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