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Article

1 - CADRE THÉORIQUE : DE BOLTZMANN À BGK

  • 1.1 - Fonction de distribution
  • 1.2 - Grandeurs continues
  • 1.3 - Vers l’équation de Boltzmann
  • 1.4 - Théorème H, entropie et distribution à l’équilibre

2 - VERS LA MÉTHODE DE BOLZMANN SUR RÉSEAU (LBM)

  • 2.1 - Introduction du terme de collision linéarisé
  • 2.2 - Une distribution à l’équilibre orientée calcul

3 - DISCRÉTISATION

4 - MISE EN ŒUVRE NUMÉRIQUE

5 - CONCLUSION

6 - GLOSSAIRE

Article de référence | Réf : BM5220 v1

Glossaire
Méthode de Boltzmann sur réseau - Application à la mécanique des fluides

Auteur(s) : Sylvain MARTIN, Olivier BONNEFOY

Date de publication : 10 déc. 2019

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Sommaire

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RÉSUMÉ

Cet article est une introduction à la méthode de Boltzmann sur réseau. Il s’agit d’une méthode de CFD eulérienne particulièrement  bien adaptée pour simuler des domaines avec des géométries complexes. Elle permet de nombreux couplages multiphysiques et son aspect purement explicite permet une parallélisation aisée et une bonne scalabilité en calcul intensif. Cet article présente l’équation de Boltzmann (physique statistique), sa discrétisation dans l’approximation BGK et sa mise en œuvre numérique.

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ABSTRACT

Introduction to the Lattice Boltzmann Method for Fluid Mechanics

This article presents the basis of the Lattice Boltzmann Method. The latter is a CFD method based on the resolution of a simplified Boltzmann equation instead of Navier Stokes equation. It is Eulerian and purely explicit and thus well designed for systems with complex geometries and high performance computing. This article presents the Boltzmann equation (statistical physics), his discretization in BGK approximation and his numerical implementation.

Auteur(s)

  • Sylvain MARTIN : Enseignant-chercheur - École nationale supérieures des Mines de Saint-Étienne - Université de Lyon, CNRS UMR 5307 LGF, Centre SPIN, Saint-Étienne, France

  • Olivier BONNEFOY : Enseignant-chercheur - École nationale supérieures des Mines de Saint-Étienne - Université de Lyon, CNRS UMR 5307 LGF, Centre SPIN, Saint-Étienne, France

INTRODUCTION

La méthode de Boltzmann sur réseau (LBM, Lattice Boltzmann Method) est une méthode de CFD (Computational fluid dynamics, mécanique des fluides numérique) qui a connu un développement très important depuis le début des années 2000. Contrairement aux méthodes de CFD traditionnelles, qui utilisent comme variables fondamentales les grandeurs macroscopiques comme la vitesse, la pression ou la masse volumique, la LBM repose sur le calcul de la distribution de vitesses des molécules. Les grandeurs usuelles sont ensuite obtenues grâce au calcul des moments de la distribution des vitesses.

Cette approche peut être vue comme une discrétisation de l’équation de Boltzmann, qui correspond au bilan sur un volume infinitésimal de la densité de probabilité des vitesses de molécules dans un gaz dilué.

Boltzmann a montré que cette fonction convergeait vers un équilibre connu sous le nom de distribution de Maxwell-Boltzmann, qui se présente sous la forme d’une Gaussienne dont la moyenne correspond à la vitesse du fluide et dont l’écart type est lié à la température.

En partant de cette équation, le modèle de Bhatnagar-Gross-Krook (BGK) propose de représenter l’évolution temporelle comme une relaxation linéaire vers l’équilibre. Cette hypothèse est valable pour des écoulements quasi incompressibles. Le temps caractéristique de relaxation est alors lié à la viscosité du fluide.

Si les travaux de Boltzmann ont été développés dans le cadre stricte de la théorie cinétique des gaz, il est possible de démontrer que l’équation de Boltzmann discrétisée converge vers les équations de Navier-Stokes tant que l’hypothèse d’écoulement quasi incompressible reste valable.

Ce résultat autorise ainsi l’utilisation de la LBM pour des fluides visqueux bien au-delà des simples gaz dilués. En extrapolant encore, l’équation de BGK discrète peut être vue simplement comme une façon originale de représenter les équations de transport. Par exemple, l’équation de la chaleur peut être résolue par une approche similaire afin de réaliser le couplage de la mécanique des fluides avec la thermique.

Les avantages de la méthode sont les suivants :

  • la simplicité de l’algorithme qui permet l’implémentation d’un code de CFD en quelques dizaines de lignes pour les langages de haut niveau (python, matlab…) ;

  • une approche eulérienne qui permet la représentation de géométries complexes avec une simple grille structurée ;

  • l’approche purement explicite qui facilite la parallélisation massive des codes de calcul ;

  • la possibilité de réaliser un couplage multiphysique pour simuler des écoulements complexes, avec par exemple de la thermique, des changements de phase ou des écoulements avec plusieurs constituants.

Ces avantages ont permis un fort développement de la LBM et une utilisation de plus en plus répandue dans la communauté scientifique.

Dans cet article, les bases de la LBM seront présentées, en commençant par une introduction de l’équation de Boltzmann continue, de la linéarisation de BGK, puis de la discrétisation. L’implémentation numérique sera ensuite détaillée avec les conditions limites associées. Il faut noter que de multiples variantes existent, pour le cœur de l’algorithme comme pour les conditions limites. Seules les approches les plus populaires seront décrites en détail. Enfin, les principaux outils disponibles ainsi que les applications phares seront présentées.

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KEYWORDS

computational fluid dynamics   |   lattice Boltzmann method   |   BGK approximation   |   multiphysics couplings

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-bm5220


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6. Glossaire

CFD (Computational Fluid Dynamics)

Regroupe toute les méthodes de simulation numérique en mécanique des fluides

Méthode de Boltzmann sur réseau ; Lattice Boltzmann Method (LBM)

Méthode de simulation numérique en mécanique des fluides basée sur la discrétisation de l’équation de Boltzmann avec un terme de collision simplifié.

Opérateur BGK (Bhatnagar-Gross-Krook)

Opérateur de collision linéarisé qui remplace l’opérateur de collision standard dans l’équation de Boltzmann. L’opérateur de BGK est très utilisé dans la méthode LBM.

MRT (Multiple RelaxationTime)

Opérateur de collision optimisé qui peut être substitué à l’approche classique BGK pour les simulations plus complexes.

Simulation directe numérique ; DNS (Direct Numerical Simulation)

Il s’agit de l’approche la plus précise de simulation en mécanique des fluides, qui consiste à résoudre directement les équations de Navier-Stokes sans utiliser de modèle de turbulence. Cette approche permet de déterminer les différents paramètres (pression, champ de vitesse…) y compris à l’échelle des plus petits tourbillons mais est extrêmement coûteuse en temps de calcul. Dans le cas de la LBM, même si c’est l’équation de Boltzmann simplifiée qui est résolue, il peut être montré que cette dernière converge vers les équations de Navier-Stokes pour un faible nombre de Mach. Il est donc pertinent de parler de DNS.

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - BRUN (R.) -   Transport et relaxation dans les écoulements gazeux,  -  Transp. Relax. dans les écoulements gazeux. R. Brun. Masson, Paris, Fr. 208 pp. Price FF 180.00 (1986).

  • (2) - GRAD (H.) -   On the kinetic theory of rarefied gases,  -  Commun. Pure Appl. Math. (1949).

  • (3) - WATARI (M.), TSUTAHARA (M.) -   Possibility of constructing a multispeed Bhatnagar-Gross-Krook thermal model of the lattice Boltzmann method,  -  Phys. Rev. E – Stat. Physics, Plasmas, Fluids, Relat. Interdiscip. Top. (2004).

  • (4) - FRAPOLLI (N.), CHIKATAMARLA (S.S.), KARLIN (I.) -   Simulations of Heated Bluff-Bodies with the Multi-Speed Entropic Lattice Boltzmann Method,  -  J. Stat. Phys. (2015).

  • (5) - HERMANN (C.) -   Physique statistique et illustrations en physique du solide.  -  Les éditions de l’école polytechnique (2003).

  • ...

1 Outils logiciels

PALABOS, open source LBM solver,

http://www.palabos.org/

OpenLB open source LBM solver,

https://www.openlb.net/

WaLBerla open source LBM solver,

https://walberla.net/index.html

Musubi, open source LBM solver,

https://bitbucket.org/apesteam/musubi/wiki/Home

ProLB, commercial CFD software based on LBM,

http://www.prolb-cfd.com/

XFLOW, commercial CFD software based on LBM,

https://www.3ds.com/products-services/simulia/products/xflow/

PowerFLOW, commercial CFD software based on LBM,

Codes sources pour l’initiation

Exemples de codes en MATLAB, C, C++, Python, Ruby pour quelques cas tests standards en mécanique des fluides,

http://wiki.palabos.org/numerics:codes

Code MATLAB 2D pour les écoulements en milieux poreux,

http://exolete.com/lbm/

Code MATLAB 2D pour les écoulements en milieux poreux,

https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/48103-the-lattice-boltzmann-method-in-25-lines-of-matlab-code-lbm

Code en C pour simuler le Lid Driven Cavity Flow, Z. Guo and C. Shu, « Lattice Boltzmann Method and its applications in Engineering, » Advances in Computational Fluid Dynamic, 2013

Exemples de codes en FORTRAN pour les cas tests standards en mécanique des fluides, A. A. Mohamad, « Lattice Boltzmann Method » Fundamentals and Engineering Applications with Computer...

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