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RÉSUMÉ
Cet article aborde la notion de systèmes linéaires invariants. Sont détaillés ainsi les différents types de représentation qui leur sont rattachés, la représentation classique puis plus spécifiquement la représentation d’état (variables, pluralité, matrice de transition). Grâce au fort développement des moyens logiciels, la représentation d’état est maintenant la plus utilisée, au niveau de la simulation mais plus encore au niveau de la commande. Sa capacité à se généraliser la distingue aisément des représentations fréquentielles.
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Lire l’articleAuteur(s)
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André FOSSARD : Ancien professeur à SUPAÉRO - Ancien directeur de recherches à l’ONERA
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Jean-Marc BIANNIC : Ingénieur de recherches à l’ONERA - Professeur à SUPAÉRO
INTRODUCTION
Le texte qui suit constitue une version révisée du dossier de Marc CLIQUE et Jean-Charles GILLE intitulé : « Représentation d’un système ». Nous en conservons ici la plupart des éléments en apportant toutefois quelques modifications à sa structure initiale. Parmi les compléments significatifs que nous avons jugé utile d’apporter, il faut noter dans cette nouvelle version :
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un paragraphe dédié à la représentation des systèmes complexes structurés en sous-systèmes ;
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un paragraphe dédié aux aspects logiciels.
Enfin la conclusion est largement modifiée et introduit le lecteur au formalisme LFT dont la représentation d’état – développée dans ce dossier – peut être vue comme un cas particulier.
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- Version courante de janv. 2019 par Jean-Marc BIANNIC
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Représentation d’état d’un système constitué de sous-systèmesArticle inclus dans l'offre
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4. Passage d’une représentation entrée-sortie à une représentation d’état. Formes canoniques
On a déjà vu au § 2 que, dans des cas très simples, la physique du système imposait naturellement un certain choix des variables d’état (cas des circuits électriques par exemple). Le plus souvent toutefois on ne connaît au départ que la relation entrée-sortie du modèle du système (ou d’une partie du système, cf. § 5), fonction de transfert ou équation différentielle. Comment obtenir dans ces cas UNE représentation d’état ? On dit bien une représentation puisqu’on a vu qu’une telle représentation n’était définie qu’à une transformation linéaire près. Le problème est donc de déduire une représentation le plus simplement possible tout en mettant en évidence une caractéristique essentielle de tout système dynamique, c’est-à-dire ses modes, soit séparément, soit globalement. Les modes sont liés aux pôles de la fonction de transfert et globalement au dénominateur de la fonction de transfert c’est-à-dire, d’après l’équation [6], aux valeurs propres de la matrice A ou à son polynôme caractéristique det (λI − A).
Avant d’aller plus loin, on supposera...
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Passage d’une représentation entrée-sortie à une représentation d’état. Formes canoniques
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - GILLE (J.-Ch.), CLIQUE (M.) - Systèmes linéaires. Équations d’état - . Eyrolles, 2ème éd. (1990).
-
(2) - GILLE (J.-Ch.), CLIQUE (M.) - Calcul matriciel et introduction à l’analyse fonctionnelle pour ingénieurs. - 3 tomes Lidec, Montréal, 6e édition 2000 (1re édition Eyrolles 1979) ISBN 2-7608-6121-X.
-
(3) - FOSSARD (A.J) - Représentation, observation et commande des systèmes linéaires dans l’espace d’état – Systèmes mono-entrée, mono-sortie - . 1995. ENSAE Toulouse France, ISBN 2.84088.023-7.
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(4) - DORF (R.C.), BISHOP (R.H.) - Modern Control System - – Prentice Hall, 10th edition (2004).
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(5) - MINZU (V.), LANG (B.) - Commande des systèmes linéaires continus - – Cours avec applications utilisant MATLAB – Ellipses (2001).
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