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RÉSUMÉ
Cet article aborde la notion de systèmes linéaires invariants. Sont détaillés ainsi les différents types de représentation qui leur sont rattachés, la représentation classique puis plus spécifiquement la représentation d’état (variables, pluralité, matrice de transition). Grâce au fort développement des moyens logiciels, la représentation d’état est maintenant la plus utilisée, au niveau de la simulation mais plus encore au niveau de la commande. Sa capacité à se généraliser la distingue aisément des représentations fréquentielles.
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Lire l’articleAuteur(s)
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André FOSSARD : Ancien professeur à SUPAÉRO - Ancien directeur de recherches à l’ONERA
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Jean-Marc BIANNIC : Ingénieur de recherches à l’ONERA - Professeur à SUPAÉRO
INTRODUCTION
Le texte qui suit constitue une version révisée du dossier de Marc CLIQUE et Jean-Charles GILLE intitulé : « Représentation d’un système ». Nous en conservons ici la plupart des éléments en apportant toutefois quelques modifications à sa structure initiale. Parmi les compléments significatifs que nous avons jugé utile d’apporter, il faut noter dans cette nouvelle version :
-
un paragraphe dédié à la représentation des systèmes complexes structurés en sous-systèmes ;
-
un paragraphe dédié aux aspects logiciels.
Enfin la conclusion est largement modifiée et introduit le lecteur au formalisme LFT dont la représentation d’état – développée dans ce dossier – peut être vue comme un cas particulier.
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- Version courante de janv. 2019 par Jean-Marc BIANNIC
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6. Changements de base
Que ce soit au niveau de la boîte noire ou au niveau du système global, on a vu qu’un certain nombre de représentations d’état étaient possibles. Bien qu’elles soient toutes équivalentes théoriquement, on peut être amené à préférer des représentations particulières, plus spécialement au niveau de la matrice A, soit parce qu’elles mettent mieux en évidence les modes – ou le polynôme caractéristique global – soit parce qu’elles éclairent la structure fondamentale du système – soit parce qu’elles nécessitent beaucoup moins d’éléments à garder en mémoire. Parmi elles on est amené à privilégier les représentations où la matrice A est diagonale – ou bloc-diagonale – ou encore sous forme compagne.
Étant donnée une représentation initiale où la matrice A est quelconque, la recherche d’une transformation
transformant A en
telle que
ait une telle structure particulière est quelque chose de facile et de très algorithmique. Seuls quelques rappels sont donnés ici.
6.1 Mise sous forme diagonale
On suppose a priori que les valeurs propres de A sont réelles et simples. La matrice de transformation est la matrice modale, c’est-à-dire la matrice des vecteurs propres associés aux diverses valeurs propres, le vecteur propre vi associé à λi étant tel que :
soit le système initial :
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - GILLE (J.-Ch.), CLIQUE (M.) - Systèmes linéaires. Équations d’état - . Eyrolles, 2ème éd. (1990).
-
(2) - GILLE (J.-Ch.), CLIQUE (M.) - Calcul matriciel et introduction à l’analyse fonctionnelle pour ingénieurs. - 3 tomes Lidec, Montréal, 6e édition 2000 (1re édition Eyrolles 1979) ISBN 2-7608-6121-X.
-
(3) - FOSSARD (A.J) - Représentation, observation et commande des systèmes linéaires dans l’espace d’état – Systèmes mono-entrée, mono-sortie - . 1995. ENSAE Toulouse France, ISBN 2.84088.023-7.
-
(4) - DORF (R.C.), BISHOP (R.H.) - Modern Control System - – Prentice Hall, 10th edition (2004).
-
(5) - MINZU (V.), LANG (B.) - Commande des systèmes linéaires continus - – Cours avec applications utilisant MATLAB – Ellipses (2001).
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