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RÉSUMÉ
Cet article aborde la notion de systèmes linéaires invariants. Sont détaillés ainsi les différents types de représentation qui leur sont rattachés, la représentation classique puis plus spécifiquement la représentation d’état (variables, pluralité, matrice de transition). Grâce au fort développement des moyens logiciels, la représentation d’état est maintenant la plus utilisée, au niveau de la simulation mais plus encore au niveau de la commande. Sa capacité à se généraliser la distingue aisément des représentations fréquentielles.
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Lire l’articleAuteur(s)
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André FOSSARD : Ancien professeur à SUPAÉRO - Ancien directeur de recherches à l’ONERA
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Jean-Marc BIANNIC : Ingénieur de recherches à l’ONERA - Professeur à SUPAÉRO
INTRODUCTION
Le texte qui suit constitue une version révisée du dossier de Marc CLIQUE et Jean-Charles GILLE intitulé : « Représentation d’un système ». Nous en conservons ici la plupart des éléments en apportant toutefois quelques modifications à sa structure initiale. Parmi les compléments significatifs que nous avons jugé utile d’apporter, il faut noter dans cette nouvelle version :
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un paragraphe dédié à la représentation des systèmes complexes structurés en sous-systèmes ;
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un paragraphe dédié aux aspects logiciels.
Enfin la conclusion est largement modifiée et introduit le lecteur au formalisme LFT dont la représentation d’état – développée dans ce dossier – peut être vue comme un cas particulier.
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- Version courante de janv. 2019 par Jean-Marc BIANNIC
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5. Représentation d’état d’un système constitué de sous-systèmes
Jusqu’à présent nous ne nous sommes intéressés qu’à la mise sous forme d’état d’une « boîte noire », c’est-à-dire en pratique d’un élément d’un système connu par sa seule relation entrée-sortie et sur lequel on n’a aucune information de structure (c’est pour cela qu’on avait le choix entre diverses représentations d’état possibles, évidemment toutes de même ordre).
Dans la pratique, un système est constitué d’un certain nombre de sous-systèmes, interconnectés entre eux d’une façon plus ou moins complexe mais connue. On a donc deux niveaux de connaissance : au niveau du sous-système, pas d’information de structure, au niveau du système, une information de structure.
Dans un tel cas, si on cherche la fonction de transfert globale (ou l’équation différentielle entrée-sortie), on se heurte à trois difficultés, de natures différentes :
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d’abord les calculs peuvent être fastidieux, en particulier si on a des boucles enchevêtrées ;
-
d’autre part, on perd la partie d’information structurelle qui était connue ;
-
enfin on risque de perdre la trace de modes ingouvernables et/ou inobservables (on se reportera à l’article [R 7 135] pour ce dernier point).
L’utilisation des modèles d’état permet de contourner toutes ces difficultés : calculs faciles, conservation de l’information de structure, conservation des modes éventuellement ingouvernables et/ou inobservables.
-
Pour cela il suffira, dans le cas où tous les sous-systèmes sont strictement propres :
1. d’écrire les équations d’état de chaque sous-système :
2. de prendre comme vecteur d’état global la réunion des vecteurs d’état de chaque sous-système :
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - GILLE (J.-Ch.), CLIQUE (M.) - Systèmes linéaires. Équations d’état - . Eyrolles, 2ème éd. (1990).
-
(2) - GILLE (J.-Ch.), CLIQUE (M.) - Calcul matriciel et introduction à l’analyse fonctionnelle pour ingénieurs. - 3 tomes Lidec, Montréal, 6e édition 2000 (1re édition Eyrolles 1979) ISBN 2-7608-6121-X.
-
(3) - FOSSARD (A.J) - Représentation, observation et commande des systèmes linéaires dans l’espace d’état – Systèmes mono-entrée, mono-sortie - . 1995. ENSAE Toulouse France, ISBN 2.84088.023-7.
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(4) - DORF (R.C.), BISHOP (R.H.) - Modern Control System - – Prentice Hall, 10th edition (2004).
-
(5) - MINZU (V.), LANG (B.) - Commande des systèmes linéaires continus - – Cours avec applications utilisant MATLAB – Ellipses (2001).
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