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RÉSUMÉ
Cet article aborde la notion de systèmes linéaires invariants. Sont détaillés ainsi les différents types de représentation qui leur sont rattachés, la représentation classique puis plus spécifiquement la représentation d’état (variables, pluralité, matrice de transition). Grâce au fort développement des moyens logiciels, la représentation d’état est maintenant la plus utilisée, au niveau de la simulation mais plus encore au niveau de la commande. Sa capacité à se généraliser la distingue aisément des représentations fréquentielles.
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Lire l’articleAuteur(s)
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André FOSSARD : Ancien professeur à SUPAÉRO - Ancien directeur de recherches à l’ONERA
-
Jean-Marc BIANNIC : Ingénieur de recherches à l’ONERA - Professeur à SUPAÉRO
INTRODUCTION
Le texte qui suit constitue une version révisée du dossier de Marc CLIQUE et Jean-Charles GILLE intitulé : « Représentation d’un système ». Nous en conservons ici la plupart des éléments en apportant toutefois quelques modifications à sa structure initiale. Parmi les compléments significatifs que nous avons jugé utile d’apporter, il faut noter dans cette nouvelle version :
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un paragraphe dédié à la représentation des systèmes complexes structurés en sous-systèmes ;
-
un paragraphe dédié aux aspects logiciels.
Enfin la conclusion est largement modifiée et introduit le lecteur au formalisme LFT dont la représentation d’état – développée dans ce dossier – peut être vue comme un cas particulier.
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- Version courante de janv. 2019 par Jean-Marc BIANNIC
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2. Pluralité des représentations d’état
Sous forme de schéma-bloc, un système peut donc se représenter comme indiqué figure 5.
En fait, les variables d’état sont un outil permettant de faciliter l’étude du comportement d’un système. Comme nous l’avons vu sur les exemples précédents, ces variables peuvent avoir une signification physique directe. Mais tel n’est pas toujours le cas, et l’on est parfois amené à changer de variables afin de mettre en évidence des propriétés particulières, pour des raisons de commodité, de précision, de sensibilité (étant entendu que l’on évitera d’utiliser une variable très bruitée).
Si l’on définit un nouveau vecteur
lié à X par
, T étant une matrice (n, n) régulière, le nouveau système s’écrit :
soit :
La connaissance de X et celle de
sont équivalentes, les matrices de la structure interne du système étant devenues :
Il est bon de remarquer que, quel que soit le vecteur d’état adopté, les relations entrées-sorties, au sens matrice de transfert du système, restent les mêmes. En effet, si l’on...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - GILLE (J.-Ch.), CLIQUE (M.) - Systèmes linéaires. Équations d’état - . Eyrolles, 2ème éd. (1990).
-
(2) - GILLE (J.-Ch.), CLIQUE (M.) - Calcul matriciel et introduction à l’analyse fonctionnelle pour ingénieurs. - 3 tomes Lidec, Montréal, 6e édition 2000 (1re édition Eyrolles 1979) ISBN 2-7608-6121-X.
-
(3) - FOSSARD (A.J) - Représentation, observation et commande des systèmes linéaires dans l’espace d’état – Systèmes mono-entrée, mono-sortie - . 1995. ENSAE Toulouse France, ISBN 2.84088.023-7.
-
(4) - DORF (R.C.), BISHOP (R.H.) - Modern Control System - – Prentice Hall, 10th edition (2004).
-
(5) - MINZU (V.), LANG (B.) - Commande des systèmes linéaires continus - – Cours avec applications utilisant MATLAB – Ellipses (2001).
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