Présentation
Auteur(s)
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Denis MAILLET : Professeur à l'Institut national polytechnique de Lorraine (INPL) - Laboratoire d'énergétique et de mécanique théorique et appliquée (LEMTA) – CNRS et Nancy-Université
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Yvon JARNY : Professeur à l'École polytechnique de l'université de Nantes - Laboratoire de thermocinétique – UMR CNRS 6607 Nantes
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Daniel PETIT : Professeur à l'École nationale supérieure de mécanique et d'aérotechnique (ENSMA) - Institut P′ – CNRS UPR 3346, département fluides, thermique, combustion – Poitiers
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Lire l’articleINTRODUCTION
Nous avons abordé dans le dossier [BE 8 265] le problème de la construction d'un modèle et celui de l'étude des sensibilités qui en découle, c'est-à-dire que nous avons mis en forme le problème direct.
Dans ce dossier, nous voyons comment on résout un problème inverse en se ramenant à un problème d'optimisation. Pour cela, une fonction objet (appelée également critère), relative à l'écart entre modèle et mesure et dépendant des paramètres inconnus est introduite. L'estimation des paramètres consiste alors à adopter, pour solutions, les valeurs qui minimisent cette fonction. Notons que, dans la pratique, cette minimisation doit rester compatible avec le niveau du bruit de mesure des capteurs utilisés.
On analyse ici la mise en forme mathématique de ce problème de minimisation qui constitue la base de la démarche inverse. Les inversions de mesures proprement dites, prenant en compte les difficultés liées à la mesure réelle (rapport signal/bruit, mauvaises sensibilités...) sont traitées dans le dossier [BE 8 267].
Par ailleurs, en s'appuyant sur les propriétés stochastiques du bruit, les écarts-types relatifs des paramètres estimés peuvent également être calculés. Les méthodes sont différentes suivant que le modèle est linéaire ou non par rapport aux paramètres à estimer.
Les symboles et notations de ce dossier sont donnés dans le tableau 1 de [BE 8 265]. Notons que seule la version pdf de ce dossier permet une notation complètement pertinente, la version électronique ne permettant pas de mettre en évidence des différences de graisse.
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VERSIONS
- Version courante de juil. 2018 par Denis MAILLET, Yvon JARNY, Daniel PETIT
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Inversion de mesures avec un modèle linéaireArticle inclus dans l'offre
"Physique énergétique"
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1. Mise en place du critère à minimiser
Considérons m mesures rangées dans un vecteur y, sujettes à des erreurs de mesure rangées dans un vecteur
, on peut écrire vectoriellement [cf. [BE 8 265], équation (87)] :
( 1 )
où le modèle ymo (.) est supposé exact, et x* est la valeur exacte mais inconnue du vecteur paramètre x.
Le problème d'estimation paramétrique consiste à estimer les n paramètres du vecteur x à partir de ces m mesures. Évidemment, il est nécessaire que ce nombre de mesures m, soit supérieur ou égal au nombre d'inconnues n. Cependant, si certaines mesures sont redondantes, c'est-à-dire effectuées pour des valeurs identiques de la variable explicative, cette condition n'est pas suffisante.
Sous cette condition, il est généralement possible de déterminer une estimation
de ce vecteur. Comme il existe une erreur
sur y, il en sera de même pour
qui sera différent de x*.
Considérons x comme étant une variable et construisons le vecteur des résidus ou, plus exactement, vecteur des écarts, tel que :
...
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - HADAMARD (J.) - Lectures on Cauchy's Problem in Linear Partial Differential Equations. - Yale University Press, New Haven (1923).
-
(2) - LASCAUX (P.), THEODOR (R.) - Analyse numérique matricielle appliquée à l'art de l'ingénieur. - Tome 1 : Méthodes directes et Tome 2 : Méthodes itératives, Masson, Paris (1987).
-
(3) - BECK (J.V.), ARNOLD (K.V.) - Parameter estimation in engineering and science. - Épuisé, mais des copies reliées spirales peuvent être distribuées directement par BECK (J.V.), Wiley, Chichester, 501 p. (1977) [email protected]
-
(4) - MAILLET (D.), ANDRÉ (S.), BATSALE (J.C.), DEGIOVANNI (A.), MOYNE (C.) - Thermal quadrupoles – Solving the heat equation through integral transforms. - Wiley, Chichester, 370 p. (2000).
-
(5) - PRESS (W.H.), FLANNERY (B.P.), TEULKOLSKY (S.A.), WILLIAM (T.), VETTERLING (W.T.) - Numerical recipes – The art of scientific computing. - Cambridge University Press, New York , 992 p. (1992).
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