Les grands déplacements du solide, accompagnés ou non de grandes déformations, rendent impossible le calcul des grandeurs mécaniques en se basant simplement sur la configuration initiale. Il est par conséquent nécessaire de prendre en compte le changement de géométrie tout au long de l’histoire du chargement. La difficulté principale réside dans l’impossibilité d’exprimer les tenseurs de déformation et de contrainte sur la configuration déformée, étant donné que cette dernière est inconnue. En effet, la configuration déformée est elle-même la solution recherchée du problème non-linéaire. Pour cette raison, nous devons considérer le mouvement du solide au cours du chargement, et non seulement à l’état final.
Le suivi du mouvement du solide peut être effectué à l’aide de la description lagrangienne, selon deux approches principales :
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la description lagrangienne totale, où la configuration initiale est considérée comme référence pour les grandeurs mécaniques (i.e. déplacements, déformations et contraintes) ;
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la description lagrangienne actualisée, où la configuration déformée est considérée comme référence.
Dans le cadre du calcul par éléments finis, la description lagrangienne, totale ou actualisée, permet d’exprimer l’équilibre incrémental de la structure, et par conséquent d’évaluer la matrice de rigidité tangente et les forces nodales pour chaque élément. La résolution du système d’équilibre à l’échelle de la structure est effectuée à l’aide de méthodes incrémentales et itératives, telles que la méthode de Newton-Raphson et celle de la longueur d’arc. Cette description incrémentale constitue un outil numérique indispensable pour l’analyse d’une large gamme de comportements non-linéaires, tels que les grands déplacements, les grandes déformations et l’instabilité des structures. L’implémentation de ces formulations non-linéaires dans les logiciels de calcul par éléments finis permet l’analyse de nombreuses applications dans les domaines de la mécanique des structures et du génie civil.