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Article

1 - PHÉNOMÈNES DE TRANSPORT DANS LES MÉTAUX

2 - STATISTIQUE DE FERMI-DIRAC ET DENSITÉ DES PORTEURS

3 - PHÉNOMÈNE DE DIFFUSION ET CONDUCTIVITÉ

4 - CONDUCTANCE DE CONTACT

5 - EFFET DE PEAU

6 - PERTES DANS LES CONDUCTEURS

7 - IMPÉDANCE DE TRANSFERT

8 - APPLICATIONS À LA MICROMÉCANIQUE ET AUX NANOTECHNOLOGIES

9 - CONCLUSION

Article de référence | Réf : E1205 v3

Statistique de Fermi-Dirac et densité des porteurs
Conducteurs en hautes fréquences

Auteur(s) : Henri BAUDRAND

Date de publication : 10 août 2013

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RÉSUMÉ

Les conducteurs en hautes fréquences ont comme caractéristique essentielle de suivre de près les évolutions technologiques des matériaux dans le souci de limiter les pertes et de miniaturiser les dispositifs électroniques. Ceci exige une réévaluation théorique des phénomènes de transport, conséquence de l'introduction des nanotechnologies .Dans un cadre plus traditionnel, de nombreuses applications sont abordées : en compatibilité électromagnétique, circuits et lignes planaires, pertes par rayonnement et utilisation des techniques quasi-optiques.

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ABSTRACT

High-frequency conductors

The essential characteristic of high-frequency conductors is that they keep pace with the technological developments of materials in order to limit losses and miniaturize electronic devices. This requires a theoretical reassessment of transportation phenomena due to the introduction of nanotechnologies. Numerous applications are discussed within a more traditional context: in electromagnetic compatibility (EMC), circuits and planar lines, losses by radiation and use of quasi-optical techniques.

Auteur(s)

  • Henri BAUDRAND : Ingénieur, Docteur ès Sciences - Professeur émérite à l'Institut National Polytechnique de Toulouse

INTRODUCTION

L'utilisation des conducteurs en hautes fréquences a considérablement évolué depuis les années de la fin du dernier siècle. Il faut évoquer la révolution des nanotechnologies, dont les premières manifestations sont l'élaboration du microscope à effet tunnel et la découverte des nanotubes. Mais les technologies classiques de photolithographie ainsi que les procédés faisant appel à la micromécanique permettent de diminuer la dimension latérale des lignes jusqu'au micromètre. Il est bon de rappeler à ce propos la fameuse loi de Moore , qui se vérifie encore plus de quarante années après sa première formulation : le nombre de transistors d'un circuit intégré double tous les deux ans (dix-huit mois dans l'article original), malgré les difficultés engendrées par le niveau moléculaire des plus petites dimensions atteintes maintenant. Cela implique une diminution d'autant des largeurs et longueurs de lignes. Si bien que certains problèmes qui soulevaient des difficultés importantes, en particulier concernant les pertes le long des lignes, le font beaucoup moins pour ce type de circuits vu la petitesse des connexions.

Par ailleurs, les progrès exponentiels des moyens de calcul ont amené progressivement les concepteurs de circuits à exploiter les couplages électromagnétiques directs, car ils sont devenus accessibles à la simulation électromagnétique et peuvent donc être contrôlés. L'exemple le plus connu et sans doute le plus ancien est la suppression de la tige d'excitation d'une antenne plaque et son remplacement par une ouverture rayonnante dans le plan de masse . Depuis, l'utilisation de surfaces sélectives en fréquences dans les circuits et la variété des dispositifs quasi optiques montrent que la ligne ou le guide traditionnel ne sont plus dans bien des cas la seule solution pour élaborer un circuit. Enfin, on constate que les métaux ne constituent plus la seule possibilité pour réaliser des conducteurs : les procédés de sérigraphie font appel a des encres conductrices, et des conducteurs moléculaires ou composites se développent, pour des raisons de coût mais aussi de souplesse dans la réalisation, certains sont même flexibles . Ces matériaux ne vont pas bien sûr remplacer dans un proche avenir les circuits planaires à plaque métallisée (PCB ou Printed Circuits Boards en anglais) très utilisés dans l'électronique courante.

Dans l'article, ces considérations seront illustrées par des exemples de réalisations industrielles, mais aussi par des recherches qui portent en elles des développements prometteurs. Une place sera faite aux dernières avancées qui risquent de bouleverser les techniques actuelles : les nanotubes, la spintronique, et, dans le domaine de l'optique, la plasmonique. L'enjeu est d'augmenter la fréquence des ordinateurs et le nombre de bascules, avec l'espoir que la loi de Moore se vérifie encore dans un avenir proche (sa validité est souvent mise en doute au-delà des années 2020).

Cependant les conducteurs en hautes fréquences ont un comportement de base qui n'a guère évolué depuis les années 1960. Les modèles simples et utiles seront rappelés dans le premier paragraphe. Le modèle adopté est le modèle de Drude (voir pour en savoir plus chapitres 1 et 2), physicien du début du 20e siècle, qui donne une équation d'évolution de la vitesse moyenne des porteurs dans un conducteur massif. De cette équation d'évolution, on déduit l'expression de la conductivité.

Avec la généralisation des nanotechnologies le domaine de l'électronique a été complètement bouleversé, on assiste actuellement à l'apparition des conducteurs à une ou deux dimensions, c'est-à-dire, qu'une ou deux dimensions sont de l'ordre de la longueur d'onde de Fermi. Dans ces conditions, les états ne sont plus suffisamment nombreux dans ces dimensions pour autoriser l'utilisation d'une statistique. Les conséquences sont suffisamment importantes au niveau de la conductivité et des potentiels de contact pour être abordées dans le début de cet article (paragraphes 2, 3, 4), malgré l'intervention marginale de ces types de matériaux actuellement, ils présentent une alternative extrêmement prometteuse au niveau de la miniaturisation des circuits. Le paragraphe 2 effectue un retour sur les statistiques de Fermi-Dirac uni- et bidimensionnelles, nécessaire pour donner l'expression de la conductivité de ces matériaux (paragraphe 3), ainsi que leur résistance de contact (paragraphe 4).

Le phénomène essentiel responsable des pertes en hautes fréquences est l'effet Kelvin ou de peau. Après la description de ses propriétés (paragraphe 5), on évalue les pertes selon les différents types de lignes, ainsi que les pertes par rayonnement et dans les connexions (paragraphe 6).

Il est important également de poser les bases de la compatibilité électromagnétique, discipline qui prend de plus en plus d'importance avec la multiplication des dispositifs communicants sans fil, et le remplacement, maintenant courant, des métaux par des composites, en particulier pour les boîtiers des circuits, qui ont de bonnes performances en poids, en résistance mécanique et surtout en coût, mais, par contre, qui sont plus transparents aux ondes électromagnétiques que les matériaux traditionnels et donc plus sensibles aux perturbations électromagnétiques. Un modèle simple de l'impédance de transfert sera développé au paragraphe 7.

Enfin, les dernières avancées dans l'utilisation et la conception des conducteurs seront évoquées dans le dernier paragraphe, elles concernent la micromécanique, les nanotechnologies, les conducteurs non métalliques, les techniques quasi optiques, la plasmonique et la spintronique.

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KEYWORDS

high frequencies circuits   |   ohmic losses   |   radiating losses   |   shielding   |   transfer impedance   |   nanoconductors   |   electronics   |   microwaves

VERSIONS

Il existe d'autres versions de cet article :

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v3-e1205


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2. Statistique de Fermi-Dirac et densité des porteurs

On utilise de plus en plus des matériaux nanométriques qui ne suivent pas les mêmes lois de distribution des électrons que dans le métal. Ainsi, pour une lame très mince de matière, si l'on se réfère à la longueur de de Broglie correspondant à la vitesse de Fermi, qui s'exprime par la formule :

( 3 )

on constate que, pour des épaisseurs de l'ordre du nanomètre, il n'existe dans la direction perpendiculaire à la lame que très peu d'états quantiques, par suite la distribution statistique de Fermi-Dirac doit s'écrire dans un espace des impulsions bidimensionnel.

Dans le cas d'un fil très fin d'argent ou d'un nanotube, tous deux d'un diamètre de l'ordre du nanomètre, on utilisera une statistique unidimensionnelle.

Compte tenu de la nature surfacique ou linéaire des conducteurs, on constate que la statistique est très différente de ce qu'elle est pour un conducteur classique tridimensionnel. On mettra en évidence l'expression de la conductivité ou de la résistance de contact. On examinera dans ce paragraphe particulièrement la densité des porteurs dans différentes géométries.

Soit à calculer l'intégrale de la formule (4). Cette intégrale représente la densité d'électrons n par unité de volume en présence d'un potentiel V. Elle exprime que la densité des particules résulte de la somme des particules d'impulsion quelconque dont le nombre est régi par la statistique de Fermi-Dirac :

( 4 )

avec :

d
 : 
nombre de dimensions du conducteur.

On remarque dans (4) que l'énergie a une partie potentielle qV, et une partie cinétique p2/  2m.

On suppose que le niveau de Fermi est dans la bande de conduction, cette hypothèse permet...

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - AUTRAN(J. L), MUNTEANU(D) -   Les architectures innovantes sur silicium mince : Un second souffle pour la loi de Moore  -  . R.E.E. Revue de l'Électricité et de l'Électronique. no 8 p. 21-31(35 ref.) (2003).

  • (2) - POZAR(D) -   À reciprocity method of analysis for printed slot and slot-coupled microstrip antennas  -  (Une méthode basée sur le théorème de réciprocité pour l'analyse des antennes à fentes imprimées ou couplées à des lignes microbandes). I.E.E.E.Transactions on Antennas & Propagation, vol. AP-34, no.12, Dec. 1986, p. 1439-1446.(9 fig. 12 ref.).

  • (3) - MANDLIK(P.), LACOUR(S.), LI(J.), CHOU(S.), WAGNER(S.) -   Fully Elastic Interconnects on Nanopatterned Elastomeric  -  Substrates. (Interconnexions Entièrement Élastiques sur Substrats Élastomères à Motifs Nanométriques). I.E.E.E. Electron Device Letters, vol.27, no.8, Aug. 2006, p. 650-652 (4 fig., 9 ref.).

  • (4) - ASCHCROFT(N.W.), MERMIN(N.D.) -   Physique des solides.  -  EDP Sciences, 959 p. (2002).

  • (5) - JALABERT(R) -   Physique...

1 Ouvrages de référence

COLLIN(R.E.) - Fundations for microwave - (Bases de l'ingénierie micro-onde), I.E.E.E. press series on electromagnetique wave theory. Donald G. Dudley, series editor.1992,( 924 p. ,12 chapitres)

BAHL(I.) - BHARTIA(P.) - Microwave solid state circuit design - (Conception des circuits micro-ondes à l'état solide). Wiley interscience publications, John Wiley 1988 (914p., 17 chapitres)

ASHCROFT (N.W.) - MERMIN (N.D.) - Physique des solides. - EDP Sciences, 959 p. (2002).

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2 Sites internet

https://www.iec.ch/awards : site très bien documenté sur Kelvin.

«  http://lns.epfl.ch/files/content/sites/lns2/files/lectures/solid/cours/Chapitre_2.pdf » Physique du solide, H. Brune EPFL, Chap. 2 les gaz d'électrons libres de Fermi

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