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RÉSUMÉ
Dans la construction mécanique, deux éléments sont fréquemment utilisés : les treillis et les plaques. Les treillis sont des structures composées de poutres assemblées les unes aux autres (en triangle, en portique ou bien en grillage) et servent à assurer la rigidité des constructions. Les plaques sont quant à elles des éléments de construction dont l'épaisseur est très faible par rapport à la largeur et la longueur. Cet article détaille les formules correspondant au phénomène de flexion sur ces éléments, c'est-à-dire aux efforts perpendiculaires au plan médian des structures. Ces flexions peuvent être dues à des vibrations provoquées par les excitations périodiques de machines tournantes ou par des phénomènes naturels comme le vent, la houle, le séisme.
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Pierre DEVALAN : Ancien directeur des Programmes de R du CETIM (Centre technique des industries mécaniques)
INTRODUCTION
Les treillis et les plaques sont des structures, ou des éléments de structure, fréquemment rencontrées en construction mécanique.
Les treillis correspondent assez souvent à des ensembles métalliques tels que des charpentes ou des ponts pour assurer la résistance de bâtiments, ouvrages d'art, équipements d'usine.
Les plaques correspondent de leur côté, le plus souvent, à des tôles, telles que planchers ou panneaux, très utilisées dans les ensembles mécano-soudés : machines, véhicules de transport, engins de chantier.
Ces structures peuvent en effet subir des vibrations provoquées par les excitations périodiques de machines tournantes ou par des phénomènes naturels comme le vent, la houle, le séisme.
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2. Plaques
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Définition
On appelle plaque, ou encore plaque mince, une structure dont une des dimensions (l'épaisseur) est faible par rapport aux deux autres, cette structure étant définie par un plan moyen (équivalent de la ligne moyenne d'une poutre). En pratique, comme pour la poutre, on considère que l'épaisseur doit être dix fois inférieure à la plus petite des deux autres dimensions.
Un exemple de plaque rectangulaire est présenté sur la figure 1.
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Hypothèses
Hypothèse 1 : on ne s'intéressera qu'à la flexion des plaques, c'est-à-dire seulement aux déplacements perpendiculaires au plan moyen.
Hypothèse 2 : l'épaisseur est considérée constante en tous points de la plaque.
Hypothèse 3 : le plan moyen ne subit pas de déformation.
Hypothèse 4 : au cours de la flexion, les rayons de courbure de la plaque doivent rester grands comparés à l'épaisseur. En pratique, comme pour la poutre, en considère que l'épaisseur doit être dix fois inférieure au plus petit rayon de courbure.
Hypothèse 5 : les droites perpendiculaires au plan moyen sont supposées rester droites, perpendiculaires au plan moyen et de dimension invariable (épaisseur constante) au cours de la flexion (c'est l'hypothèse de Kirchhoff, comparable à l'hypothèse de Bernoulli pour la poutre).
En ce qui concerne les déformations transversales, les plaques se comportent cependant différemment des poutres : en effet, une poutre est libre de se contracter ou de se dilater dans une direction transversale sous l'effet d'une contrainte axiale par l'intermédiaire du coefficient de Poisson, tandis qu'une plaque ne peut se contracter ou se dilater librement dans cette direction. Cela impose que le module d'élasticité E, qui détermine la rigidité du matériau d'une poutre doit être remplacé par le « module de plaque » :
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - HARRIS, CREDE - Shock and vibration Handbook. - McGraw-Hill, 3 vol., New-York (1996).
-
(2) - Halte Manuel de l'Ingénieur, tome 1. - Librairie polytechnique, Beranger, Paris (1960).
-
(3) - DEN HARTOG (J.-P.) - Vibrations mécaniques. - Dunod, Paris (1960).
-
(4) - GORMAN (D.I.) - Free vibration analysis of beams and shafts. - John Wiley & Sons (1975).
-
(5) - TIMOSHENKO (S.) - Théorie des vibrations. - Librairie polytechnique, Beranger, Paris (1954).
-
(6) - KELLOGG (M.W.) Company - Design of piping systems. - John Wiley & Sons (1956).
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(7) - RUTENBERG (A.) - Vibration...
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