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Auteur(s)
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Jean AUVRAY : Ingénieur de l’École nationale supérieure de physique, chimie industrielle (ESPCI) - Docteur ès sciences - Professeur à l’Université Pierre-et-Marie-Curie (Paris-VI)
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Lire l’articleINTRODUCTION
Nous présentons deux méthodes de synthèse des filtres récursifs (ou à réponse impulsionnelle infinie) :
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par équivalence de la dérivation ;
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par équivalence de l’intégration, c’est la transformation bilinéaire.
Ces filtres sont surtout utilisés pour transposer des cellules dont la fonction de transfert analogique est bien connue, par exemple des filtres de Butterworth ou de Tchebytchev. Ils mettent en œuvre un nombre réduit de coefficients donc se prêtent bien à un calcul rapide mais ils sont très sensibles aux erreurs sur les coefficients et peuvent devenir instables.
Nous aborderons également le cas des filtres à algorithme rapide qui ne sont pas très performants, mais restent intéressants car ils ne nécessitent que peu de calcul et peuvent tourner à des fréquences élevées sur des machines modestes.
Depuis quelques années la sensibilité des filtres numériques aux erreurs sur les coefficients a fait l’objet de nombreuses recherches et des structures moins sensibles ont été proposées. Nous citerons quelques exemples de filtres en échelle et en treillis.
Enfin, il est de moins en moins coûteux de disposer d’un transformateur de Fourier rapide (FFT) qu’il est tentant de mettre à profit pour effectuer le filtrage d’un signal. La transformation de Fourier est malheureusement une transformation opérant sur le signal pris dans son ensemble. L’algorithme de FFT travaille au contraire sur des tronçons de signal de durée limitée, or le découpage du signal en morceaux introduit des régimes transitoires parasites qu’il n’est pas toujours possible d’éliminer. Il existe cependant une méthode utilisable pour des filtres à réponse impulsionnelle finie qui sera décrite dans cet article.
Cet article s’insère dans une série consacrée à la pratique du filtrage :
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Pratique du filtrage. Introduction [R 1 100] ;
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Pratique du filtrage. Filtrage analogique [R 1 102] ;
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Pratique du filtrage. Filtrage numérique. Filtres transverses [R 1 105] ;
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Pratique du filtrage. Filtrage numérique. Filtres récursifs [R 1 106].
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2. Filtrage par transformée de Fourier
Un filtre harmonique est un dispositif qui modifie sélectivement amplitude et phases des composantes spectrales du signal d’entrée. Il est donc tout à fait naturel, si l’on possède un algorithme de transformation de Fourier, de tenter de l’utiliser pour effectuer cette opération.
On peut penser qu’il suffit d’effectuer la transformée de Fourier du signal d’entrée, de multiplier le spectre obtenu par la fonction de transfert du filtre et d’effectuer une transformée inverse. Malheureusement la transformée de Fourier est une opération mathématique qui opère sur le signal pris dans son ensemble, et qui met en effet en œuvre une intégration de
à
. Or la transformation de Fourier discrète est définie à partir d’un nombre fini de points, le temps de calcul augmente en effet très vite avec ce nombre et il est difficile, même avec des processeurs rapides, de dépasser 8 000 points. Pour opérer sur un signal réel arrivant à l’entrée de façon continue, il faut le tronçonner en blocs de longueur limitée et effectuer une transformation de Fourier sur chacun des blocs, mais cette troncature modifie le spectre et la combinaison des résultats successifs ne permet pas en général de remonter à la transformée analogique.
Pour un filtre récursif de réponse impulsionnelle infinie, le calcul à partir de la transformée de Fourier n’est en général pas possible. Il n’en est pas de même pour un filtre transversal de réponse impulsionnelle finie. Dans ce cas les régimes transitoires parasites introduits par la troncature peuvent être compensés en utilisant la méthode que nous allons décrire et dont la justification théorique est développée dans la référence . Lorsque le nombre de coefficients d’un filtre transversal est supérieur...
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - MAX (J.) - Méthodes et Techniques de traitement du signal - . Tomes 1 et 2, Masson (1985).
-
(2) - KUNT (M.) - Traitement numérique du signal - . Traité d’électricité École polytechnique de Lausanne, Éditions Georgi (1980).
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(3) - de COULOMB (F.) - Théorie et traitement des signaux - . Traité d’électricité École polytechnique de Lausanne, Éditions Georgi (1984).
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(4) - BELLANGER (M.) - Traitement numérique du signal - . Masson (1985).
-
(5) - BELLANGER (M.) - Analyse des signaux et filtrage numérique adaptatif - . Masson (1989).
-
(6) - FONDANECHE (P.), GILBERTAS (P.) - Filtres numériques - . Masson (1981).
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