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RÉSUMÉ
Depuis quelques années, l’industrie agroalimentaire consacre davantage de ressources à la conduite de ses essais expérimentaux. Laissant de côté la démarche traditionnelle basée sur le savoir-faire de l’expérimentateur, et souvent peu satisfaisante, elle s’offre maintenant une approche maîtrisée et rigoureuse, une vraie stratégie d’expériences. Après une présentation détaillée de quelques exemples (plan factoriel, plan fractionnaire, modèle de Scheffé), cet article s’attarde à démontrer l’intérêt scientifique et économique de ces plans d’expériences.
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Rachid SABRE : Enseignant-chercheur - Responsable du laboratoire de Mathématiques Appliquées à l’Informatique et aux Statistiques MAIS à l’ENESAD - Membre de l’Institut de Mathématiques de Bourgogne CNRS
INTRODUCTION
L’industrie agroalimentaire, devant l’amélioration ou la création d’un nouveau produit, accorde ces dernières années une place importante à l’organisation des essais expérimentaux. La démarche traditionnelle pas à pas était basée sur le savoir-faire et le bon sens de l’expérimentateur. Cela engendrait de nombreux essais et un temps considérable pour atteindre parfois des résultats difficilement interprétables.
Cependant, les exigences du client sur le plan qualité et goût d’une part et la course des entreprises vers des réductions des coûts de développement d’autre part, nécessitent l’utilisation d’une approche scientifiquement rigoureuse : un « plan d’expériences » appelé aussi une « stratégie d’expériences ».
Ainsi, une industrie de chocolat, par exemple, doit réaliser plusieurs mélanges en variant les composants ou en variant tout simplement leur dosage pour obtenir un produit qui répond à certaines caractéristiques organoleptiques exigées comme : fondant, gras, saveur sucré, caramélisé, lactée, persistance du goût, couleurs, etc. Les interrogations que se pose le responsable d’un projet peuvent être résumées en trois questions pertinentes :
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quels sont les composants à étudier soupçonnés de pouvoir changer le résultat pour atteindre le mélange répondant aux caractéristiques attendues du produit ?
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quelles sont les proportions de ces composants à mettre dans ce mélange ?
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combien d’essais doivent être réalisés pour avoir la réponse attendue ?
L’objectif du plan d’expériences est de répondre à ces questions en proposant des méthodes mathématiques permettant d’organiser un nombre réduit d’essais expérimentaux dont les résultats sont exploitables.
Dans ce travail, nous commençons par définir un plan d’expériences puis montrons l’avantage scientifique et économique de son utilisation. Dans les paragraphes qui suivent, nous exposons le plan factoriel complet, le plan factoriel fractionnaire et les modèles de Scheffé. Afin de conserver la confidentialité de certaines études, les données concernant quelques exemples sont modifiées ou exposées d’une manière partielle.
Ce document présentant quelques plans d’expériences ne prétend pas exposer tous les plans existants. D’autres plans complémentaires comme par exemple, celui de Taguchi, seront présentés dans un numéro ultérieur.
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4. Plan fractionnaire à deux niveaux
4.1 Intérêt de ce plan
Nous avons vu que le plan factoriel à deux niveaux donne de bons résultats avec un nombre d’essais réduit. Il reste tout de même que, lorsque le nombre de facteurs étudiés est élevé, le nombre d’essais devient rapidement important et irréalisable notamment quand le coût d’un essai est onéreux. La question qui se pose donc est de savoir s’il est possible de faire moins d’essais quitte à refaire d’autres essais supplémentaires pour confirmer un résultat si cela est nécessaire.
Pour répondre à cette question, le plan fractionnaire à deux niveaux permet de réduire le nombre d’essais d’une manière plus intelligente pour pouvoir exploiter ses résultats tout en laissant la possibilité de compléter par une autre série d’essais bien choisis pour confirmer ou mettre en évidence d’autres résultats. Supposons que l’on a k facteurs et on a décidé de faire uniquement 2 p essais avec p < k au lieu de 2 k . Le plan fractionnaire consiste, dans ce cas, à commencer par faire un plan factoriel avec p facteurs puis à sélectionner, dans la matrice d’expériences, les colonnes des interactions d’ordres les plus élevés pour mettre les (k – p ) autres facteurs restants.
Parmi l’importante liste des écrits sur ce plan, nous citons : Box et Hunter [3], Droesbeke, Fine et Saporta [6], Goupy [8], Sado et Sado [11], Schimmerling, Sisson et Zaïdi [14].
HAUT DE PAGE4.2 Étude du plan sur des exemples agroalimentaires
Pour mieux comprendre l’utilité de ce plan, nous donnons l’exemple d’une étude réalisée dans un laboratoire. Il s’agit de vérifier les effets de trois composants dans un mélange de fabrication d’un produit chocolatier sur la couleur du produit mesurée par un appareil spécifique. Le facteur F 1 est « la masse de cacao » dont les niveaux sélectionnés sont 4 % comme niveau bas et 10 % comme niveau haut. Le facteur F 2 est « le chocolat lait » dont les niveaux sélectionnés sont 5 % comme niveau bas et 12 % comme niveau haut. Le facteur F 3 est « un...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - AFNOR - Méthodes statistiques. - 5 tomes, 8e édition, Paris (1999).
-
(2) - BOX (G.E.P.), HUNTER (J.S.) - Multi-Factor Experimental Designs for Exploring Response Surfaces. - Annals of Mathematical Statistics, 28, pp. 195-241 (1995).
-
(3) - BOX (G.E.P.), HUNTER (J.S.) - The 2 k–p fractional factorial designs. - Technometrics, 3 pp. 311-351 et pp. 449-458 (1961).
-
(4) - BOX (G.E.P.), HUNTER (W.G.) - Sequential Design of experiments for nonlinear models. - Proceedings of the IBM Scientific Computing symposium on Statistics, October, pp. 21-33 et pp. 113-137 (1963).
-
(5) - DAUDIN (J.J.), DUBY (C.) - Techniques mathématiques pour l’industrie agroalimentaire. - Collection Sciences et Techniques agroalimentaires, Édition Tec & Doc, Paris (2002).
-
(6) - DROESBEKE (J.), FINE (J.), SAPORTA (G.) - Plans...
ANNEXES
(Liste non exhaustive)
Nemrod, logiciel construit à LPRAI, Université d’Aix-MarseilleSas, Editor InstituteSpad, DECISIA/SPADhttps://www.test-and-go.com/fr/ct
Splus, distribué par SIGMA PLUSStatgraphics plus, distribué par SIGMA PLUSStatistica, Statsofthttp://www.statsoft.com/french
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