Bibliographie & annexes
Présentation
RÉSUMÉ
Depuis quelques années, l’industrie agroalimentaire consacre davantage de ressources à la conduite de ses essais expérimentaux. Laissant de côté la démarche traditionnelle basée sur le savoir-faire de l’expérimentateur, et souvent peu satisfaisante, elle s’offre maintenant une approche maîtrisée et rigoureuse, une vraie stratégie d’expériences. Après une présentation détaillée de quelques exemples (plan factoriel, plan fractionnaire, modèle de Scheffé), cet article s’attarde à démontrer l’intérêt scientifique et économique de ces plans d’expériences.
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Rachid SABRE : Enseignant-chercheur - Responsable du laboratoire de Mathématiques Appliquées à l’Informatique et aux Statistiques MAIS à l’ENESAD - Membre de l’Institut de Mathématiques de Bourgogne CNRS
INTRODUCTION
L’industrie agroalimentaire, devant l’amélioration ou la création d’un nouveau produit, accorde ces dernières années une place importante à l’organisation des essais expérimentaux. La démarche traditionnelle pas à pas était basée sur le savoir-faire et le bon sens de l’expérimentateur. Cela engendrait de nombreux essais et un temps considérable pour atteindre parfois des résultats difficilement interprétables.
Cependant, les exigences du client sur le plan qualité et goût d’une part et la course des entreprises vers des réductions des coûts de développement d’autre part, nécessitent l’utilisation d’une approche scientifiquement rigoureuse : un « plan d’expériences » appelé aussi une « stratégie d’expériences ».
Ainsi, une industrie de chocolat, par exemple, doit réaliser plusieurs mélanges en variant les composants ou en variant tout simplement leur dosage pour obtenir un produit qui répond à certaines caractéristiques organoleptiques exigées comme : fondant, gras, saveur sucré, caramélisé, lactée, persistance du goût, couleurs, etc. Les interrogations que se pose le responsable d’un projet peuvent être résumées en trois questions pertinentes :
-
quels sont les composants à étudier soupçonnés de pouvoir changer le résultat pour atteindre le mélange répondant aux caractéristiques attendues du produit ?
-
quelles sont les proportions de ces composants à mettre dans ce mélange ?
-
combien d’essais doivent être réalisés pour avoir la réponse attendue ?
L’objectif du plan d’expériences est de répondre à ces questions en proposant des méthodes mathématiques permettant d’organiser un nombre réduit d’essais expérimentaux dont les résultats sont exploitables.
Dans ce travail, nous commençons par définir un plan d’expériences puis montrons l’avantage scientifique et économique de son utilisation. Dans les paragraphes qui suivent, nous exposons le plan factoriel complet, le plan factoriel fractionnaire et les modèles de Scheffé. Afin de conserver la confidentialité de certaines études, les données concernant quelques exemples sont modifiées ou exposées d’une manière partielle.
Ce document présentant quelques plans d’expériences ne prétend pas exposer tous les plans existants. D’autres plans complémentaires comme par exemple, celui de Taguchi, seront présentés dans un numéro ultérieur.
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Plan fractionnaire à deux niveaux3. Modélisation
L’attribution de la valeur « – 1 » au niveau bas et « + 1 » au niveau haut de chaque facteur revient à faire un changement d’unité de mesure et un changement d’origine. Quand un facteur A varie de A 1 à A 2 , l’origine est égale à A 0 = 1/2 (A 1 + A 2). Le passage de la variable « A » à la variable centrée réduite « x » se fait par la formule suivante :
où le pas p = A 2 – A 0 .
La variable x varie de – 1 à + 1.
Le but de ce paragraphe est de donner un modèle mathématique permettant d’exprimer la variable réponse y en fonction des quantités x des variables centrées réduites correspondantes aux facteurs étudiés.
Dans un plan de deux facteurs, supposons que chaque facteur agit linéairement. Le modèle mathématique est :
avec :
- y :
- réponse
- x 1 :
- variable correspondant au facteur F 1 entre – 1 et + 1
- x 2 :
- variable correspondant au facteur F2 entre – 1 et + 1
- a0 , a 1 , a 2 et a 12 :
- coefficients à calculer.
3.1 Calcul des coefficients
Le premier essai correspond à x 1 = – 1 et x 2 = – 1 et la valeur de la réponse mesurée est y 1 . En remplaçant x 1...
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Modélisation
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - AFNOR - Méthodes statistiques. - 5 tomes, 8e édition, Paris (1999).
-
(2) - BOX (G.E.P.), HUNTER (J.S.) - Multi-Factor Experimental Designs for Exploring Response Surfaces. - Annals of Mathematical Statistics, 28, pp. 195-241 (1995).
-
(3) - BOX (G.E.P.), HUNTER (J.S.) - The 2 k–p fractional factorial designs. - Technometrics, 3 pp. 311-351 et pp. 449-458 (1961).
-
(4) - BOX (G.E.P.), HUNTER (W.G.) - Sequential Design of experiments for nonlinear models. - Proceedings of the IBM Scientific Computing symposium on Statistics, October, pp. 21-33 et pp. 113-137 (1963).
-
(5) - DAUDIN (J.J.), DUBY (C.) - Techniques mathématiques pour l’industrie agroalimentaire. - Collection Sciences et Techniques agroalimentaires, Édition Tec & Doc, Paris (2002).
-
(6) - DROESBEKE (J.), FINE (J.), SAPORTA (G.) - Plans...
ANNEXES
(Liste non exhaustive)
Nemrod, logiciel construit à LPRAI, Université d’Aix-Marseille http://www.nemrodw.com
Sas, Editor Institute
Spad, DECISIA/SPAD https://www.test-and-go.com/fr/ct
Splus, distribué par SIGMA PLUS http://statwww.epfl.ch/splus/
Statgraphics plus, distribué par SIGMA PLUS http://www.sigmaplus.fr
Statistica, Statsoft http://www.statsoft.com/french
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