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RÉSUMÉ
Cet article présente une méthodologie permettant de maîtriser le design de courbes et de surfaces à parti de la notion de point de contrôle introduite par les pères fondateurs de la géométrie de la CAO, Pierre Bézier et Paul Faget de Casteljau. Nous passons en revue les courbes et les surfaces polynomiales ainsi que les splines polynomiales. Une introduction aux concepts clés de ‡oraison et de subdivision donne un nouvel éclairage à ce sujet très riche et encore très actif.
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Olivier GIBARU : Professeur des Universités en mathématiques appliquées - École Nationale Supérieure d'Arts et Métiers - Campus de Lille, France
INTRODUCTION
La géométrie de la CAO est une branche de la conception assistée par ordinateur (CAO) qui désigne initialement les outils logiciels permettant à un ordinateur de remplacer la planche à dessin. Les logiciels incorporent généralement des règles métiers, capturent efficacement l'intention de l'utilisateur et permettent de réaliser des opérations complexes. Un logiciel de CAO se compose en général d'un modeleur géométrique, d'un outil de visualisation et d'outils de calcul. Le vocabulaire du modeleur géométrique est celui de la géométrie : points, droites, plans, courbes de Bézier, courbes splines, surfaces de Bézier, surfaces splines, surfaces NURBS… et aussi celui de la topologie : sommets, arêtes, faces, intérieur/extérieur, union, intersection… Nous nous intéressons ici à la partie modélisation de formes géométriques 2D ou 3D dites complexes qui sont utilisées dans des domaines très variés : conception mécanique, design numérique, design de mode, animation et jeux vidéos… L'idée de cette modélisation repose sur la création d'outils mathématiques motivés par une utilisation intuitive et facile de ces modèles par des stylistes, concepteurs, graphistes… Ainsi, la modélisation 2D et 3D fait intervenir un ensemble de courbes et de surfaces permettant de représenter les frontières des objets modélisés. Le modèle de représentation qui s'est imposé naturellement est le modèle polynomial.
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2. Courbes rationnelles, interpolation de points et lissage par courbe spline polynomiale
2.1 Courbes rationnelles
Fiorot et Jeannin dans ont introduit, dans les années 1990, le contrôle des courbes et des surfaces rationnelles via l'utilisation de vecteurs massiques composés soit de points pondérés soit de vecteurs. Ces vecteurs massiques sont les équivalents pour le cas rationnel des pôles ou points de contrôle pour le cas polynomial. Le contexte mathématique du polynomial est le linéaire et l'affine, celui du rationnel est le non linéaire et le projectif. La géométrie projective est l'outil essentiel de cette construction. Prenons l'exemple du cercle. Il peut s'exprimer sous la forme rationnelle paramétrique suivante
où lorsque
ces équations décrivent le cercle en entier. Cette représentation est obtenue en utilisant (cos θ, sin θ) et en appliquant le changement de paramètre
. Cette courbe s'écrit aussi comme la projection conique de la parabole de
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ATTEIA (M.), GACHES (J.) - Approximation Hilbertienne, Splines-Ondelettes-Fractales. - Presses Universitaires de Grenoble (1999).
-
(2) - BERNSTEIN (S.N.) - Démonstration du théorème de Weierstrass fondée sur le calcul des probabilités. - Commun. Soc. Math. Kharkov, 13, 1-2 (1912-1913).
-
(3) - * - Lettre de Pierre BÉZIER adressée à Christophe Rabut en novembre 1999.
-
(4) - Actes du colloque BÉZIER (P.) - * - . – ENSAM de Paris (30 novembre 2000).
-
(5) - CATMULL (E.), CLARK (J.) - Recursively generated B-spline surfaces on arbitrary topological meshes. - Computer-Aided Design, 10, 350-355 (1978).
-
(6) - CARNICER (J.M.), PEÑA (J.M.) - Totally positive bases for preserving curve design and optimality...
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