Bibliographie & annexes
Présentation
RÉSUMÉ
Cet article présente une méthodologie permettant de maîtriser le design de courbes et de surfaces à parti de la notion de point de contrôle introduite par les pères fondateurs de la géométrie de la CAO, Pierre Bézier et Paul Faget de Casteljau. Nous passons en revue les courbes et les surfaces polynomiales ainsi que les splines polynomiales. Une introduction aux concepts clés de ‡oraison et de subdivision donne un nouvel éclairage à ce sujet très riche et encore très actif.
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This paper presents a methodology for mastering the design of curves and surfaces from the check-point notion introduced by the founding fathers of the CAGD geometry, Pierre Bézier et Paul Faget de Casteljau. We review polynomial curves and surfaces, and polynomial splines. An introduction to the key concepts of blossoming sheds new light on this very rich and still very active domain.
Auteur(s)
-
Olivier GIBARU : Professeur des Universités en mathématiques appliquées - École Nationale Supérieure d'Arts et Métiers - Campus de Lille, France
INTRODUCTION
La géométrie de la CAO est une branche de la conception assistée par ordinateur (CAO) qui désigne initialement les outils logiciels permettant à un ordinateur de remplacer la planche à dessin. Les logiciels incorporent généralement des règles métiers, capturent efficacement l'intention de l'utilisateur et permettent de réaliser des opérations complexes. Un logiciel de CAO se compose en général d'un modeleur géométrique, d'un outil de visualisation et d'outils de calcul. Le vocabulaire du modeleur géométrique est celui de la géométrie : points, droites, plans, courbes de Bézier, courbes splines, surfaces de Bézier, surfaces splines, surfaces NURBS… et aussi celui de la topologie : sommets, arêtes, faces, intérieur/extérieur, union, intersection… Nous nous intéressons ici à la partie modélisation de formes géométriques 2D ou 3D dites complexes qui sont utilisées dans des domaines très variés : conception mécanique, design numérique, design de mode, animation et jeux vidéos… L'idée de cette modélisation repose sur la création d'outils mathématiques motivés par une utilisation intuitive et facile de ces modèles par des stylistes, concepteurs, graphistes… Ainsi, la modélisation 2D et 3D fait intervenir un ensemble de courbes et de surfaces permettant de représenter les frontières des objets modélisés. Le modèle de représentation qui s'est imposé naturellement est le modèle polynomial.
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KEYWORDS
spline curves | spline surfaces | Béziers curves | de Casteljau algorithm | blossoming
DOI (Digital Object Identifier)
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Présentation
Les courbes – design géométrique5. Conclusion
Le design des courbes et surfaces pour l'industrie, le monde médical, la mode et les jeux vidéos a permis des avancées significatives pour la création de formes reproductibles et leur échange via des systèmes informatiques. Les besoins de représentation en 3D se sont accrus ces dernières années car ils permettent de recourir au virtuel afin d'économiser la réalisation de pièces réelles. C'est le cas par exemple lors de la conception de nouveaux avions où les équipes se retrouvent à valider leur travail sur une maquette virtuelle ou à tester dans un environnement augmenté le montage de pièces virtuelles. Le monde du cinéma utilise aussi beaucoup ces technologies via des outils logiciels adaptés. Les outils se sont donc perfectionnés au fur et à mesure de l'évolution des moyens de calcul et des besoins économiques. Il existe une communauté scientifique mathématique très active dans le monde qui permet de faire avancer le front de la connaissance dans ce domaine.
Remerciements : Je remercie Marie-Laurence Mazure et Pierre-Jean Laurent, professeurs à l'université Joseph Fourier, Grenoble, pour m'avoir autorisé à utiliser certaines de leurs figures.
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Conclusion
BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - ATTEIA (M.), GACHES (J.) - Approximation Hilbertienne, Splines-Ondelettes-Fractales. - Presses Universitaires de Grenoble (1999).
-
(2) - BERNSTEIN (S.N.) - Démonstration du théorème de Weierstrass fondée sur le calcul des probabilités. - Commun. Soc. Math. Kharkov, 13, 1-2 (1912-1913).
-
(3) - * - Lettre de Pierre BÉZIER adressée à Christophe Rabut en novembre 1999.
-
(4) - Actes du colloque BÉZIER (P.) - * - . – ENSAM de Paris (30 novembre 2000).
-
(5) - CATMULL (E.), CLARK (J.) - Recursively generated B-spline surfaces on arbitrary topological meshes. - Computer-Aided Design, 10, 350-355 (1978).
-
(6) - CARNICER (J.M.), PEÑA (J.M.) - Totally positive bases for preserving curve design and optimality...
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