Les surfaces
Courbes et surfaces en géométrie de la CAO

1 - Les courbes – design géométrique

• 1.1 - Polynômes de Bernstein et propriétés des courbes de Bézier
  Figure 7 - Les quatre polynômes de Bernstein d'ordre 3 Figure 8 - Courbe de Bézier située dans l'enveloppe convexe de ces points de contrôle Figure 9 - Intersection d'une droite avec la courbe de Bézier et son polygone de contrôle Figure 10 - Comparaison entre le polygone de Bézier et le polygone de contrôle associé à une autre base (TP) normalisée Figure 11 - Dérivées d'ordre un aux extrémités d'une courbe de Bézier Figure 12 - Courbe de Bézier et son hodographe Figure 13 - Courbe de Bézier avec un point d'inflexion Figure 14 - Courbe de Bézier présentant un point de rebroussement et son hodographe Figure 15 - Courbe de Bézier de type cubique PH Figure 16 - Polygones de contrôle inversés avec évaluation à t = 0,35 (à gauche) et à t = 0,65 (à droite) Figure 17 - Algorithme triangulaire de passage de la base canonique à la base de Bernstein Figure 18 - Application de l'algorithme de de Casteljau Figure 19 - Étape finale de l'algorithme de de Casteljau Figure 20 - Algorithme de de Casteljau sous forme triangulaire Figure 21 - Algorithme de de Casteljau pour t = 0,5 et t = 0,7 Figure 22 - Application du théorème de Weierstrass Figure 23 - Approximation uniforme d'une courbe paramétrique continue f (en rouge) par le polynôme Pn (en bleu) issu du procédé d'approximation de Bernstein (n = 10, n = 15 et n = 500) Figure 24 - Subdivision du polygone de contrôle Figure 25 - Trois subdivisions successives d'une courbe de Bézier avec le tracé des trois ensembles de cordes associées Figure 26 - Élévation de degré pour une courbe de Bézier Figure 27 - Raccord C 3 de deux courbes de Bézier Figure 28 - Raccord C 3 de deux courbes de Bézier sur [0, 1] et … Figure 29 - Raccordement C 3 de deux courbes cubiques de Bézier dans CATIA V5 Figure 30 - Construction de la courbure en t = 0 d'une courbe de Bézier Figure 31 - Construction du raccord en tangence et en courbure entre deux courbes de Bézier Figure 32 - Raccord G 2 de la courbe de Bézier du bord d'attaque d'un profil Naca avec les courbes de Bézier définissant l'extrados et l'intrados Figure 33 - Raccord géométrique G   0 uniquement Figure 34 - Raccord géométrique G 1 cas nominal
• 1.2 - Floraison
  Figure 35 - Points de contrôle et floraison Figure 36 - Algorithme de de Casteljau pour … Figure 37 - Obtention de … Figure 38 - Raccord C   2 de deux cubiques et leurs floraisons Figure 39 - Variétés osculatrices à une courbe de Bézier et floraisons [25]

2 - Courbes rationnelles, interpolation de points et lissage par courbe spline polynomiale

• 2.1 - Courbes rationnelles
  Figure 40 - Cercle issu de la projection conique de la parabole située sur le cône de sommet Ω s'appuyant sur le cercle Figure 41 - Courbe de Bézier de degré 18 (d'après [24]) Figure 42 - Courbe spline cubique (d'après [24]) Figure 43 - Déformée d'une latte mince passant par des points imposés Figure 44 - Trois courbes de Bézier raccordées C   2-C   2 (à gauche) et C   2-C   0 (à droite) Figure 45 - Courbe spline cubique exprimée dans la base B-spline Figure 46 - Polygone de contrôle modifié de la courbe spline cubique C   2 Figure 47 - Spline cubique présentant une discontinuité de première espèce en … Figure 48 - Construction itérative de … Figure 49 - Construction itérative de … Figure 50 - Courbe B-spline périodique Figure 51 - Insertion successive de deux nœuds Figure 52 - Insertion multiple de nœuds après 1 et 5 étapes de subdivision
• 2.2 - Interpolation de points
  Figure 53 - Interpolation de 11 points par une courbe de Bézier d'ordre 10 Figure 54 - Interpolation B-spline pour différents choix du vecteur nœud
• 2.3 - Lissage par courbe spline polynomiale
  Figure 55 - Approximation de points par des splines

3 - Les surfaces

• 3.1 - Carreaux de Bézier
  Figure 56 - Carreau de Bézier d'ordre 3 x 3 Figure 57 - Évaluation d'un point d'un carreau de Bézier par l'algorithme de de Casteljau – étape 1 Figure 58 - Évaluation d'un point d'un carreau de Bézier par l'algorithme de de Casteljau – étape 2 Figure 59 - Subdivision en quatre carreaux de Bézier Figure 60 - Différentes étapes de la subdivision d'un carreau de Bézier Figure 61 - Raccord C 1 entre deux carreaux de Bézier Figure 62 - Raccord en tangence de deux surfaces Figure 63 - Raccord en tangence avec une arête vive
• 3.2 - Surfaces triangulaires
  Figure 64 - Domaine barycentrique et réseau simplicial d'ordre 3 Figure 65 - Réseau de points de contrôle et surface de Bézier triangulaire Figure 66 - Algorithme de de Casteljau triangulaire Figure 67 - Passage d'une surface de Bézier triangulaire à un carreau de Bézier Figure 68 - Raccord en tangence de deux surfaces de Bézier triangulaires
• 3.3 - Surfaces splines polynomiales et rationnelles
  Figure 69 - Surface spline polynomiale (à gauche) et surface spline rationnelle (à droite)
• 3.4 - Un aperçu de quelques difficultés : sommets, remplissage
  Figure 70 - Surface de remplissage à n côtés Figure 71 - Surface de remplissage Figure 72 - Congé de raccordement

4 - Schémas de subdivision

5 - Conclusion