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Auteur(s)
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Gérard DEBEAUMARCHÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Cachan - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Clemenceau de Reims
-
Danièle LINO : Ancienne élève de l’École normale supérieure de Sèvres - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Clemenceau de Reims
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Lire l’articleINTRODUCTION
Le champ de l’algèbre linéaire s’est longtemps limité à la résolution des systèmes d’équations linéaires AX = B, c’est-à-dire :
C’est en 1750 que Cramer publie à Genève, dans « L’introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques », ses célèbres formules donnant l’expression des inconnues x1, …, xn dans un système de n équations à n inconnues. Celles-ci préludent à l’introduction des déterminants.
D’autres méthodes de résolution des systèmes sont élaborées au cours du XIXe siècle, notamment par Gauss, qui fut le directeur de l’Observatoire de Göttingen, en vue de la résolution de problèmes astronomiques.
Enfin, à partir de 1840, Cayley inaugure le calcul vectoriel dans
tandis que Grassmann introduit la notion d’espaces vectoriels abstraits, débouchant sur les idées actuelles de l’algèbre linéaire.
Celles-ci permettent de traiter géométriquement, et indépendamment de toute référence aux bases, les problèmes matriciels qui apparaissent tant en mathématiques (analyse numérique, probabilités, …) que dans leurs applications aux sciences de l’ingénieur.
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2. Algèbre linéaire en dimension finie
Dans ce paragraphe, on s’intéresse aux espaces vectoriels de dimension finie. Ceux-ci sont définis de la manière suivante.
Définition 26. On appelle espace vectoriel de dimension finie tout espace vectoriel admettant une famille génératrice finie.
Entrent dans cette catégorie les espaces vectoriels
et
dont la base canonique constitue, évidemment, une famille génératrice finie.
Dans ce cadre, on se propose d’étudier le problème de l’existence des bases, des sous-espaces supplémentaires, etc.
2.1 Espaces vectoriels de dimension finie
Proposition 21.
Tout espace vectoriel de dimension finie admet au moins une base.
On peut obtenir une base de E au moins de deux manières :
-
soit par extraction d’une famille libre maximale à partir d’une famille génératrice finie ;
-
soit par complétion d’une famille libre ; c’est ce qu’il est convenu d’appeler le théorème de la base incomplète.
Preuve. ⋄ Nous démontrons l’existence d’une base en utilisant la première méthode proposée ci-dessus.
Soient E un espace vectoriel de dimension finie et (e 1, e 2, …, en ) une famille génératrice finie de E . Considérons l’ensemble des familles libres extraites de la famille (e 1, e 2, …, en ). Parmi celles-ci existe au moins une famille libre de cardinal maximal p. Quitte à réindexer la famille (e 1, e 2, …, en ), on peut supposer que cette famille est constituée des vecteurs (e 1,...
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