Algèbre linéaire en dimension quelconque
Algèbre linéaire

Auteur(s) : Gérard DEBEAUMARCHÉ, Danièle LINO

Date de publication : 10 avr. 1998 | Read in English

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1 - Algèbre linéaire en dimension quelconque

1.1 - Espaces vectoriels sur un corps commutatif
1.2 - Sous-espaces vectoriels
1.3 - Applications linéaires
1.4 - Exemples d’applications linéaires
1.5 - Endomorphismes d’un espace vectoriel E

2 - Algèbre linéaire en dimension finie

2.1 - Espaces vectoriels de dimension finie
2.2 - Sous-espaces vectoriels de dimension finie
2.3 - Formes linéaires et hyperplans

Présentation

Auteur(s)

Gérard DEBEAUMARCHÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Cachan - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Clemenceau de Reims
Danièle LINO : Ancienne élève de l’École normale supérieure de Sèvres - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Clemenceau de Reims

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INTRODUCTION

Le champ de l’algèbre linéaire s’est longtemps limité à la résolution des systèmes d’équations linéaires AX = B, c’est-à-dire :

[\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{nn} \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} b_{1} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix}]

C’est en 1750 que Cramer publie à Genève, dans « L’introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques », ses célèbres formules donnant l’expression des inconnues x₁, …, x_n dans un système de n équations à n inconnues. Celles-ci préludent à l’introduction des déterminants.

D’autres méthodes de résolution des systèmes sont élaborées au cours du XIX^e siècle, notamment par Gauss, qui fut le directeur de l’Observatoire de Göttingen, en vue de la résolution de problèmes astronomiques.

Enfin, à partir de 1840, Cayley inaugure le calcul vectoriel dans $ℝ^{n}$ tandis que Grassmann introduit la notion d’espaces vectoriels abstraits, débouchant sur les idées actuelles de l’algèbre linéaire.

Celles-ci permettent de traiter géométriquement, et indépendamment de toute référence aux bases, les problèmes matriciels qui apparaissent tant en mathématiques (analyse numérique, probabilités, …) que dans leurs applications aux sciences de l’ingénieur.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af85

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1. Algèbre linéaire en dimension quelconque

1.1 Espaces vectoriels sur un corps commutatif

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1.1.1 Généralités

On rappelle qu’un corps est un ensemble muni de deux lois de composition interne, notées + et $\times$ , et vérifiant un certain nombre de propriétés (voir l’article Langage des ensembles et des structures). Ainsi $ℚ, ℝ, ℂ, ℤ / p ℤ$ pour p premier sont des corps.