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Auteur(s)
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Danièle LINO : Ancienne élève de l’École normale supérieure de Sèvres - Agrégée de mathématiques - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Henri-IV
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Bernard RANDÉ : Ancien élève de l’École normale supérieure de Saint-Cloud - Docteur en mathématiques - Agrégé de mathématiques - Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis
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Lire l’articleINTRODUCTION
Les fondements du calcul différentiel, l’introduction de la notion de dérivée, les règles opératoires sur les dérivées et le lien entre intégration et dérivation conçues comme opérations inverses l’une de l’autre remontent au dix‐septième siècle et principalement à Newton (1642-1727) et à Leibniz (1647‐1716). C’est ce dernier mathématicien qui introduit la notation dy/dx définissant la dérivée d’une fonction y.
Le théorème de Rolle (1652-1719) date de 1691 et la règle de l’Hospital de 1696. Taylor (1685-1731) énonce en 1715 la formule qui porte son nom. Les formules de Taylor avec reste de Lagrange et reste intégral apparaissent chez Lagrange (1736-1813) démontrées de manière rigoureuse.
Le calcul différentiel à plusieurs variables apparaît au cours de la première moitié du XVIII e siècle. En liaison avec des problèmes physiques (mécanique, hydrodynamique) apparaissent les premières équations aux dérivées partielles. En 1743, d’Alembert (1717-1783) étudie l’équation des oscillations d’une chaîne pesante. En 1746, il écrit l’équation des cordes vibrantes (∂ 2y/ ∂t2 = ∂ 2y/ ∂x 2) qu’il résout quelques années plus tard.
Laplace (1749-1827), à la suite de ses travaux en astronomie, s’intéresse aussi aux équations aux dérivées partielles et tente une première théorie des équations linéaires du second ordre.
Tout au long du XIXe siècle, les mathématicens contribueront à clarifier le calcul différentiel et à lui donner sa vigueur moderne, tandis que l’étude des équations différentielles et aux dérivées partielles reste toujours d’actualité.
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2. Calcul différentiel sur les applications de plusieurs variables
2.1 Introduction
Une fois acquise la notion de dérivabilité d’une application définie sur un intervalle de la droite réelle, il semble naturel de l’étendre à des fonctions ayant pour sources des ensembles plus généraux. On pourrait proposer des espaces vectoriels normés arbitraires. En réalité, un tel cadre est à la fois trop restreint et presque inutilement général :
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trop restreint, du fait que l’environnement approprié pour traiter, par exemple, le calcul des variations, serait plutôt celui des variétés différentiables ;
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d’une généralité superflue, par ailleurs, puisque les cas élémentaires ne se produisent que lorsque la source de l’application est un ouvert d’un espace vectoriel normé réel de dimension finie.
Cette présentation propédeutique du calcul différentiel se limite donc volontairement à cette situation.
Malgré cette restriction, il ne faudrait pas croire que les concepts introduits dans le paragraphe 1 s’appliquent heureusement et sans élaboration à ce nouveau cadre. En voici une raison. Aussi longtemps que les fonctions ont pour source un intervalle de la droite réelle, l’étude au voisinage d’un point peut se concevoir comme la conjonction des études à droite et à gauche en ce point, en somme dans seulement deux directions. Ainsi, la dérivabilité au point a se résume à l’égalité des dérivées à droite et à gauche.
Nous tenterons bien, en introduisant la dérivée selon un vecteur, de transplanter cette idée dans ce terrain nouveau. Malheureusement, dès que nous aurons compris que l’étude au voisinage d’un point, du plan par exemple, suppose au minimum l’étude des dérivées selon une infinité de directions, il nous faudra nous appuyer sur une vision différente, sinon nouvelle, de la régularité de la fonction :...
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