Article

1 - TRANSFORMÉE DE FOURIER D’UNE FONCTION INTÉGRABLE

  • 1.1 - Classes de fonctions intégrables
  • 1.2 - Convolution de deux fonctions intégrables
  • 1.3 - Transformée de Fourier. Lemme de Riemann-Lebesgue
  • 1.4 - Règles de calcul

2 - FORMULE D’INVERSION DE FOURIER

  • 2.1 - Approximations de l’identité
  • 2.2 - Théorème d’inversion de Fourier
  • 2.3 - Cas où f est bornée et positive

3 - TECHNIQUES DE CALCUL

4 - CAS DES FONCTIONS DE CARRÉ INTÉGRABLE

  • 4.1 - Théorème de Plancherel
  • 4.2 - Fonctions de classe C1 à support compact
  • 4.3 - Bases orthonormales de et fonctions d’Hermite

5 - ESPACE DE SCHWARTZ

  • 5.1 - Fonctions régulières et rapidement décroissantes sur  ; espace
  • 5.2 - Transformée de Fourier d’une fonction régulière
  • 5.3 - Transformée de Fourier d’une fonction rapidement décroissante
  • 5.4 - Théorème d’isomorphisme

6 - ÉQUATION DE LA CHALEUR POUR UNE BARRE INFINIE

7 - APPLICATIONS DIVERSES. PROLONGEMENTS

Article de référence | Réf : AF143 v1

Intégrales de Fourier

Auteur(s) : Hervé QUEFFÉLEC

Date de publication : 10 avr. 1999

Pour explorer cet article
Télécharger l'extrait gratuit

Vous êtes déjà abonné ?Connectez-vous !

Sommaire

Présentation

Version en anglais En anglais

Auteur(s)

Lire cet article issu d'une ressource documentaire complète, actualisée et validée par des comités scientifiques.

Lire l’article

INTRODUCTION

La transformation de Fourier sur la droite réelle est l’analogue de la transformation de Fourier des fonctions périodiques localement intégrables, où les exponentielles :

sont remplacées par la famille continue des exponentielles :

et où l’intégration sur un intervalle période est remplacée par l’intégration sur tout entier.

D’ailleurs, un physicien dirait qu’une fonction définie sur est une fonction périodique de période infinie (!), et on peut donner une présentation unifiée des séries et intégrales de Fourier dans le cadre abstrait des groupe abéliens localement compacts. Il n’en demeure pas moins que, dans le cas des séries de Fourier, le groupe de base est le groupe compact des réels modulo 2π, alors que, dans le cas des intégrales de Fourier, ce groupe de base est le groupe non compact des réels. Il s’agit là, comme on le verra, d’une différence majeure ; même si, dans les deux cas, la convolution est transformée en la multiplication ordinaire, ce qui est un outil puissant pour la résolution des équations aux dérivées partielles, les phénomènes sont souvent fort différents ; par exemple, il n’y a plus toujours unicité pour l’équation de chaleur avec donnée initiale, ou bien les bases orthonormales qui entrent en jeu n’ont rien de semblable : base des exponentielles en dans le cas des séries de Fourier, base des fonctions d’Hermite dans le cas des intégrales de Fourier, etc.

En conséquence, malgré les similitudes entre les deux théories, il semble préférable d’en donner des expositions séparées.

Nota :

le lecteur pourra se reporter à la référence bibliographique pour la présentation unifiée des séries et intégrales de Fourier dans le cadre abstrait des groupes abéliens localement compacts.

Cet article est réservé aux abonnés.
Il vous reste 93% à découvrir.

Pour explorer cet article
Téléchargez l'extrait gratuit

Vous êtes déjà abonné ?Connectez-vous !


L'expertise technique et scientifique de référence

La plus importante ressource documentaire technique et scientifique en langue française, avec + de 1 200 auteurs et 100 conseillers scientifiques.
+ de 10 000 articles et 1 000 fiches pratiques opérationnelles, + de 800 articles nouveaux ou mis à jours chaque année.
De la conception au prototypage, jusqu'à l'industrialisation, la référence pour sécuriser le développement de vos projets industriels.

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af143


Cet article fait partie de l’offre

Mathématiques

(166 articles en ce moment)

Cette offre vous donne accès à :

Une base complète d’articles

Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques

Des services

Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources

Un Parcours Pratique

Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses

Doc & Quiz

Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive

ABONNEZ-VOUS

Version en anglais En anglais

Cet article est réservé aux abonnés.
Il vous reste 93% à découvrir.

Pour explorer cet article
Téléchargez l'extrait gratuit

Vous êtes déjà abonné ?Connectez-vous !


L'expertise technique et scientifique de référence

La plus importante ressource documentaire technique et scientifique en langue française, avec + de 1 200 auteurs et 100 conseillers scientifiques.
+ de 10 000 articles et 1 000 fiches pratiques opérationnelles, + de 800 articles nouveaux ou mis à jours chaque année.
De la conception au prototypage, jusqu'à l'industrialisation, la référence pour sécuriser le développement de vos projets industriels.

Cet article fait partie de l’offre

Mathématiques

(166 articles en ce moment)

Cette offre vous donne accès à :

Une base complète d’articles

Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques

Des services

Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources

Un Parcours Pratique

Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses

Doc & Quiz

Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive

ABONNEZ-VOUS

Sommaire
Sommaire

BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - DYM (H.), MC KEAN (H.P.) -   Fourier Series and Integrals.  -  Academic Press 1972.

  • (2) - FOLLAND (G.) -   Introduction to partial differential equations.  -  Princeton University Press 1976.

  • (3) - KAHANE (J.P.), LEMARIE (P.G.) -   Séries de Fourier et ondelettes.  -  Cassini 1998.

  • (4) - KATZNELSON (Y.) -   An Introduction to Harmonic Analysis.  -  Wiley and Sons 1968.

  • (5) - KENIG (C.), TOMAS (P.) -   Maximal operators defined by Fourier multipliers.  -  Studia Math. 68 (1980), 79-83.

  • (6) - MEYER (Y.) -   Ondelettes.  -  Hermann 1990.

  • (7) - RUDIN (W.) -   Real and Complex...

Cet article est réservé aux abonnés.
Il vous reste 92% à découvrir.

Pour explorer cet article
Téléchargez l'extrait gratuit

Vous êtes déjà abonné ?Connectez-vous !


L'expertise technique et scientifique de référence

La plus importante ressource documentaire technique et scientifique en langue française, avec + de 1 200 auteurs et 100 conseillers scientifiques.
+ de 10 000 articles et 1 000 fiches pratiques opérationnelles, + de 800 articles nouveaux ou mis à jours chaque année.
De la conception au prototypage, jusqu'à l'industrialisation, la référence pour sécuriser le développement de vos projets industriels.

Cet article fait partie de l’offre

Mathématiques

(166 articles en ce moment)

Cette offre vous donne accès à :

Une base complète d’articles

Actualisée et enrichie d’articles validés par nos comités scientifiques

Des services

Un ensemble d'outils exclusifs en complément des ressources

Un Parcours Pratique

Opérationnel et didactique, pour garantir l'acquisition des compétences transverses

Doc & Quiz

Des articles interactifs avec des quiz, pour une lecture constructive

ABONNEZ-VOUS