Transformée de Fourier d’une fonction intégrable
Intégrales de Fourier

AF143 v1 Article de référence

Transformée de Fourier d’une fonction intégrable
Intégrales de Fourier

Auteur(s) : Hervé QUEFFÉLEC

Date de publication : 10 avr. 1999 | Read in English

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Sommaire
Médias

Présentation

1 - Transformée de Fourier d’une fonction intégrable

1.1 - Classes de fonctions intégrables
1.2 - Convolution de deux fonctions intégrables

Figure 1 - graphe de
1.3 - Transformée de Fourier. Lemme de Riemann-Lebesgue
1.4 - Règles de calcul

2 - Formule d’inversion de Fourier

2.1 - Approximations de l’identité
2.2 - Théorème d’inversion de Fourier
2.3 - Cas où f est bornée et positive

3 - Techniques de calcul

3.1 - Cas des fonctions paires ou impaires
3.2 - Calcul direct : fonction exponentielle négative
3.3 - Calcul par inversion de Fourier : noyau de Poisson
3.4 - Calcul résiduel ou variationnel

4 - Cas des fonctions de carré intégrable

4.1 - Théorème de Plancherel
4.2 - Fonctions de classe C 1 à support compact
4.3 - Bases orthonormales de et fonctions d’Hermite

5 - Espace de Schwartz

5.1 - Fonctions régulières et rapidement décroissantes sur ; espace
5.2 - Transformée de Fourier d’une fonction régulière
5.3 - Transformée de Fourier d’une fonction rapidement décroissante
5.4 - Théorème d’isomorphisme

6 - Équation de la chaleur pour une barre infinie

6.1 - Modélisation du problème
6.2 - Utilisation de la transformée de Fourier
6.3 - Contre-exemple pour l’unicité
6.4 - Existence et unicité de solutions bornées

7 - Applications diverses. Prolongements

7.1 - Extension de la transformation de Fourier au champ complexe
7.2 - Équation aux dérivées partielles elliptiques
7.3 - Présentation des ondelettes

Figure 8 - Ondelette de Haarl

Bibliographie & annexes

Présentation

Auteur(s)

Hervé QUEFFÉLEC : Professeur de mathématiques à l’’Université de Lille

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INTRODUCTION

La transformation de Fourier sur la droite réelle $ℝ$ est l’analogue de la transformation de Fourier des fonctions périodiques localement intégrables, où les exponentielles :

e_{n} (t) = \exp (i nt) (n entier)

sont remplacées par la famille continue des exponentielles :

e_{x} (t) = \exp (i x t) (x réel),

et où l’intégration sur un intervalle période est remplacée par l’intégration sur $ℝ$ tout entier.

D’ailleurs, un physicien dirait qu’une fonction définie sur $ℝ$ est une fonction périodique de période infinie (!), et on peut donner une présentation unifiée des séries et intégrales de Fourier dans le cadre abstrait des groupe abéliens localement compacts. Il n’en demeure pas moins que, dans le cas des séries de Fourier, le groupe de base est le groupe compact des réels modulo 2π, alors que, dans le cas des intégrales de Fourier, ce groupe de base est le groupe non compact des réels. Il s’agit là, comme on le verra, d’une différence majeure ; même si, dans les deux cas, la convolution est transformée en la multiplication ordinaire, ce qui est un outil puissant pour la résolution des équations aux dérivées partielles, les phénomènes sont souvent fort différents ; par exemple, il n’y a plus toujours unicité pour l’équation de chaleur avec donnée initiale, ou bien les bases orthonormales qui entrent en jeu n’ont rien de semblable : base des exponentielles e_n dans le cas des séries de Fourier, base des fonctions d’Hermite dans le cas des intégrales de Fourier, etc.

En conséquence, malgré les similitudes entre les deux théories, il semble préférable d’en donner des expositions séparées.

Nota :

le lecteur pourra se reporter à la référence bibliographique pour la présentation unifiée des séries et intégrales de Fourier dans le cadre abstrait des groupes abéliens localement compacts.

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DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af143

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1. Transformée de Fourier d’une fonction intégrable

Rappel sur l’écriture :

A = : B est une définition de B à partir de l’objet déjà connu A ;

A : = B est une définition de A à partir de l’objet déjà connu B.

L’objet qu’on définit est toujours du côté des « : » ; ce symbole représente une abréviation pour ne pas couper le fil d’un calcul. Cette abréviation est courante dans les articles de recherche et, également, dans les livres d’enseignement.

1.1 Classes de fonctions intégrables

Soit d’abord $p \in [1, \infty [$ ; on définit l’espace $L^{p} (ℝ)$ (à ne pas confondre avec l’espace L^p des fonctions 2π-périodiques de puissance p-ième localement intégrable) comme étant l’espace des fonctions $f : ℝ \to ℂ$ pas trop irrégulières et pas trop grandes, au sens où :

f est mesurable (c’est-à-dire que n’est pas trop irrégulière) ;

( 1 )

\begin{matrix} (\int_{- \infty}^{\infty} {| f (t) |}^{p} ... \end{matrix}