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Auteur(s)
-
Michel CESSENAT : Ingénieur des Arts et Manufactures - Docteur en Mathématiques Statistiques et Physique Mathématique
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Lire l’articleINTRODUCTION
Tous les termes mathématiques utilisés dans cet article sont définis dans les articles Analyse fonctionnelle [A 101], Analyse complexe et Analyse harmonique, distributions, convolution dans le traité Sciences fondamentales.
Pour aider le lecteur nous avons souvent rappelé brièvement le sens du terme utilisé par une explication entre parenthèses, à la suite de ce terme. Le sujet des transformations fonctionnelles étant extrêmement vaste, nous avons dû choisir de n’exposer que quelques unes d’entre elles – les plus couramment utilisées – et de donner un nombre très restreint d’applications, sans exposer les problèmes physiques et leur modélisation – nous renvoyons pour cela aux références bibliographiques indiquées et notamment à .
Notre but est ici de présenter rapidement des outils efficaces pour résoudre de façon systématique de très nombreux problèmes d’origines très différentes, et notamment des problèmes d’équations aux dérivées partielles dans des cadres fonctionnels naturels pour la modélisation du problème physique posé.
Cet article a naturellement des recouvrements partiels avec les articles Analyse harmonique, distributions, convolution , Fonctions hypergéométriques. Fonctions de Bessel et Fonctions eulériennes. Polynômes orthogonaux classiques .
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1. Motivation et principaux types de transformations fonctionnelles
L’emploi de transformations dites fonctionnelles (car s’appliquant à des fonctions éventuellement généralisées), déjà assez ancien, est devenu d’un usage courant pour plusieurs motivations différentes ; nous citerons notamment les suivantes.
—[nbsp ]On veut stocker de l’information, ou reconstituer un signal, ou faire apparaître des propriétés particulières d’un signal, ou d’un ensemble de mesures.
—[nbsp ]On veut effectuer des calculs numériques rapides.
—[nbsp ]On veut transformer un problème compliqué en un problème plus simple, si possible résoluble. Précisons un peu plus.
Supposons que l’on ait à résoudre un problème stationnaire du type :
avec f donné dans un espace (fonctionnel) X, A un opérateur (linéaire) dans cet espace X, et u l’inconnue. Le problème [1] sera particulièrement simple si l’on sait diagonaliser l’opérateur A, c’est‐à‐dire le transformer en une multiplication dans un autre espace (fonctionnel) Y. Cela est vrai aussi bien si A est une matrice que si A est un opérateur différentiel.
Il en est encore de même si l’on veut résoudre un problème d’évolution dit de Cauchy :
avec
l’inconnue u étant une fonction de
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - DAUTRAY (R.), LIONS (J.L.) - Analyse mathématique et calcul numérique pour les Sciences et les Techniques. - Masson.
-
(2) - CANUTO (C.), HUSSAINI (M.Y.), QUARTERONI (A.), ZANG (T.A.) - Spectral Methods in Fluid Dynamics. - Springer Verlag (1988).
-
(3) - MERCIER (B.) - An Introduction to the Numerical Analysis of Spectral Methods. - Springer Verlag (1988).
-
(4) - LAX (P.D.), PHILLIPS (R.S.) - Scattering Theory. - Academic Press (1967).
-
(5) - GELFAND (J.M.), GRAEV (M.I.), VILENKIN (N.Ja.) - Les distributions. - Tome 5, Dunod (1970).
-
(6) - HELGASON (S.) - The Radon transform. - Birkhauser, Boston (1980).
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