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Équations aux différencesArticle de référence | Réf : A1240 v1
Auteur(s) : Michel CESSENAT
Date de publication : 10 mai 1991
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L’emploi de transformations dites fonctionnelles (car s’appliquant à des fonctions éventuellement généralisées), déjà assez ancien, est devenu d’un usage courant pour plusieurs motivations différentes ; nous citerons notamment les suivantes.
— On veut stocker de l’information, ou reconstituer un signal, ou faire apparaître des propriétés particulières d’un signal, ou d’un ensemble de mesures.
— On veut effectuer des calculs numériques rapides.
— On veut transformer un problème compliqué en un problème plus simple, si possible résoluble. Précisons un peu plus.
Supposons que l’on ait à résoudre un problème stationnaire du type :
avec f donné dans un espace (fonctionnel) X, A un opérateur (linéaire) dans cet espace X, et u l’inconnue. Le problème [1] sera particulièrement simple si l’on sait diagonaliser l’opérateur A, c’est‐à‐dire le transformer en une multiplication dans un autre espace (fonctionnel) Y. Cela est vrai aussi bien si A est une matrice que si A est un opérateur différentiel.
Il en est encore de même si l’on veut résoudre un problème d’évolution dit de Cauchy :
avec
l’inconnue u étant une fonction de
à valeurs dans X. En notant
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(3) - MERCIER (B.) - An Introduction to the Numerical Analysis of Spectral Methods. - Springer Verlag (1988).
(4) - LAX (P.D.), PHILLIPS (R.S.) - Scattering Theory. - Academic Press (1967).
(5) - GELFAND (J.M.), GRAEV (M.I.), VILENKIN (N.Ja.) - Les distributions. - Tome 5, Dunod (1970).
(6) - HELGASON (S.) - The Radon transform. - Birkhauser, Boston (1980).
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